Question

f(x)是定义在R上的奇函数,且在(0,正无穷)上是增函数,求证：f（x）在(负无穷,0)上是增函数

问题二：本例中，若f（x）是偶函数，其他条件不变，则结论又是什么？

Answer 1

（一）设0＜x1＜x2
由于在0到正无穷是增函数
所以f（x1）＜f（x2）
又-x2＜-x1＜0
f（-x2）-f（-x1）
=-f（x2）-[-f（x1）]
=f（x1）-f（x2）＜0
所以f（-x2）＜f（-x1）
所以f（x）在负无穷到0也是增函数

（二）如果f（x）是偶函数
设0＜x1＜x2
由于在0到正无穷是增函数
所以f（x1）＜f（x2）
又-x2＜-x1＜0
f（-x2）-f（-x1）
=f（x2）-f（x1）＞0
所以f（-x2）＞f（-x1）
所以f（x）在负无穷到0也是减函数