如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,
D为AC边上中点,过D点作DE丄DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长....
D为AC边上中点,过D点作DE丄DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.
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解:延长ED到G,使DG=DE,再连结CG,FG。
因为 DE垂直于DF,DG=DE,
所以 DF垂直平分EG,
所以 EF=GF,
因为 D是AC中点,DG=DE,角CDG=角ADE,
所以 三角形CDG全等于三角形ADE,
所以 CG=AE=4,角GCD=角A,
因为 在等腰直角三角形ABC中,角ABC=90度,
所以 角A=45度,角ACB=45度,
所以 角GCF=角GCD+角ACB=角A+角ACB=90度,
在三角形GCF中,因为 角GCF=90度,CG=4,FC=3,
所以 由勾股定理可得:GF=5,
因为 EF=GF,
所以 EF=5。
因为 DE垂直于DF,DG=DE,
所以 DF垂直平分EG,
所以 EF=GF,
因为 D是AC中点,DG=DE,角CDG=角ADE,
所以 三角形CDG全等于三角形ADE,
所以 CG=AE=4,角GCD=角A,
因为 在等腰直角三角形ABC中,角ABC=90度,
所以 角A=45度,角ACB=45度,
所以 角GCF=角GCD+角ACB=角A+角ACB=90度,
在三角形GCF中,因为 角GCF=90度,CG=4,FC=3,
所以 由勾股定理可得:GF=5,
因为 EF=GF,
所以 EF=5。
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连接BD,
∵等腰直角三角形ABC中,D为AC边上中点,
∴BD⊥AC(三线合一),BD=CD=AD,∠ABD=45°,
∴∠C=45°,
∴∠ABD=∠C,
又∵DE丄DF,
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF=90°,
∴∠FDC=∠EDB,
在△EDB与△FDC中,
因为:∠EBD=∠CBD=CD∠EDB=∠FDC
∴△EDB≌△FDC(ASA),∴BE=FC=3
同理可证:△FDB≌△EDA(ASA),BF=AE=4
在RT△BEF中,根据勾股定理可知,EF=5
∵等腰直角三角形ABC中,D为AC边上中点,
∴BD⊥AC(三线合一),BD=CD=AD,∠ABD=45°,
∴∠C=45°,
∴∠ABD=∠C,
又∵DE丄DF,
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF=90°,
∴∠FDC=∠EDB,
在△EDB与△FDC中,
因为:∠EBD=∠CBD=CD∠EDB=∠FDC
∴△EDB≌△FDC(ASA),∴BE=FC=3
同理可证:△FDB≌△EDA(ASA),BF=AE=4
在RT△BEF中,根据勾股定理可知,EF=5
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