Question

已知函数f(x)=(log2x-2)(log4x-1/2)

请问第二问怎么做？

Answer 1

（1）log4(x)=(1/2)log2(x)
所以：y=[log2(x)-2]*[(1/2)log2(x)-1/2]
令t=log2(x)，因为x∈[2,4]，所以可得t∈[1,2]；
y=(t-2)(t-1)/2=t²/2-3t/2+1
开口向上的二次函数，对称轴为t=3/2，在定义域区间t∈[1,2]内，且区间端点正好关于对称轴对称
所以，当t=3/2时，y有最小值-1/8；
当t=1或2时，y有最大值0；
所以，该函数的值域为[-1/8,0]；

（2）f(x)≧mlog2(x)即：[log2(x)-2]*[(1/2)log2(x)-1/2]≧mlog2(x) ①
令t=log2(x)，因为x∈[4,16]，所以可得t∈[2,4]；
①化为：(t-2)(t-1)/2≧mt，即：t²-3t+2≧2mt ②
因为t>0，所以，②式两边同除t，得：2m≦t+2/t-3
则2m要小于等于t+2/t-3在t∈[2,4]上的最小值；
t+2/t是对勾函数，勾底为√2，所以在区间[2,4]上是递增的；
所以：当t=2时，t+2/t-3有最小值0
所以：2m≦0
m≦0
所以，m的范围是(-∞,0]

Answer 2

f(x)=(log2 x -2)(1/2log2 x -1/2)
设t=log2 x，则f(t)=1/2t^2-3/2t+1=1/2(t-3/2)^2-1/8,
∵x∈[2,4]，∴t∈[1,2]
∴最小值为f(3/2)=-1/8，最大值为f(1)=1/2-3/2+1=0
∴值域为[-1/8,0]
(2)当x∈[4,16]时，t∈[2,4]
f(t)/log2 x=f(t)/t=1/2t-3/2+1/t=(1/2t+1/t)-3/2，当t=2时，值最小=1+1/2-3/2=0
∴0≥m，即m≤0

Answer 3

令log（2）X=t 则log（4）x=t/2 x∈[4,16] t∈[2,4]
则（t-2）（t/2-1/2）≥mt在[2,4]上恒成立
即m≤（t^2-3t+2)/2t=t/2+1/t-3/2
右式在区间[2,4]是增函数（在t=√2时取得最小值），故其最小值为t=2时 1+1/2-3/2
则m≤0

Answer 4

两边除以对数，求最值

追问

没明白