高数导数问题.急!
已知f(x)在0处可导,f(0)=0,lim(x~0)[f(tanx-sinx)/x3)=4.求f'(0)...
已知f(x)在0处可导,f(0)=0,lim(x~0)[f(tanx-sinx)/x3)=4.求f'(0)
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解:答案:f'(0)=24
解:由罗比达法则:此极限为0/0型
所以,lim(x~0)[f(tanx-sinx)]/x3)=lim(x~0)[f'(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)]/3x2)
=lim(x~0)[f''(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)+f'(tanx-sinx)*(2sec²xtanx+sinx)]/6x=4
因为,lim(x~0)[f''(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)]/6x=lim(x~0)[f'''(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)+f''(tanx-sinx)*(2sec²xtanx+sinx)]/6=0。
所以,lim(x~0)[f'(tanx-sinx)*(2sec²xtanx+sinx)]/6x=4
所以,3f'(0)/6=4 , 即:f'(0)/2=4(因为,sinx/x=1 ,tanx/x=1 当 x-0时)
所以,f'(0)=8
解:由罗比达法则:此极限为0/0型
所以,lim(x~0)[f(tanx-sinx)]/x3)=lim(x~0)[f'(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)]/3x2)
=lim(x~0)[f''(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)+f'(tanx-sinx)*(2sec²xtanx+sinx)]/6x=4
因为,lim(x~0)[f''(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)]/6x=lim(x~0)[f'''(tanx-sinx)*(sec²x-cosx)+f''(tanx-sinx)*(2sec²xtanx+sinx)]/6=0。
所以,lim(x~0)[f'(tanx-sinx)*(2sec²xtanx+sinx)]/6x=4
所以,3f'(0)/6=4 , 即:f'(0)/2=4(因为,sinx/x=1 ,tanx/x=1 当 x-0时)
所以,f'(0)=8
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