Question

正项数列{an}中,前n项和为Sn,a1=2,且an=2[根号(2Sn-1)]+2(n≥2),求数列{an}的通项公式

正项数列{an}中,前n项和为Sn,a1=2,且an=2[根号(2Sn-1)]+2(n≥2),求数列{an}的通项公式

Answer 1

解：an=2[根号(2Sn-1)]+2(n≥2)
则 an=2sqrt(2S(n-1))+2 ①
　　∵Sn=S(n-1)+an=S(n-1)+2sqrt(2S(n-1))+2
　　　　　　　　　=(sqrt(S(n-1))+sqrt(2))^2
　　∴sqrt(S(n-1))=sqrt(Sn)-sqrt(2)②
将②代入① 可得 Sn=[(an+2)^2]/8
用n-1替换n再开平方，得 sqrt(S(n-1))=(a(n-1)+2)/(2sqrt(2)) ③
将③代入①得 an=a(n-1)+4
此数列为等差数列
∴an=4n-2
∴数列{an}的通项公式为an=4n-2,