Question

定积分∫[0，a] √a^2 -x^2dx(a>0)求详细过程

Answer 1

∫[0，a] √宽纳a^2 -x^2dx
首先算不定积分
∫√（a^2 -x^2）dx
设x=asinu,dx=acosudu,√（a^2 -x^2）=acosu
∫码搏√（a^2 -x^2）dx
=∫acosuacosudu
=∫a^2cos^2udu
=∫慎模没a^2(1+cos2u)/2du
=a^2/4∫(1+cos2u)d(2u)
=a^2/4[2u+sin2u]

追问

你没做完把

追答

下面的你会了吧，我就不做了

追问

设x=asinu,dx=acosudu, 为什么这么设

追答

∫√（a^2 -x^2）dx

=a^2/4(2acsin(x/a)+sin(2arcsin(x/a)))
所以
∫[0，a] √a^2 -x^2dx
=a^2/4(2acsin(x/a)+sin(2arcsin(x/a)))|[0,a]
=a^2/4(2acsin(a/a)+sin(2arcsin(a/a)))-a^2/4(2acsin(0/a)+sin(2arcsin(0/a)))
=a^2/4[π+0]-a^2/4[0+0]
=πa^2/4

++++++++++++
设x=asinu,dx=acosudu,
你画一个直角三角形，斜边长是a,对边长是x,另一边正好是 √（a^2 -x^2）,
所以要这么设。这样才能去掉根号