Question

如图,抛物线y=-x平方+bx+c与x轴交于点A,B两点,与y轴交于点C，点O为坐标原点

如图,抛物线y=-x平方+bx+c与x轴交于点A,B两点,与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3.
1. 求抛物线所对应的函数解析式
2.求△ABD的面积
3.将△AOC绕点C逆时针旋转90°.点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？说明理由

Answer 1

解：（1）∵四边形OCEF为矩形，OF=2，EF=3，
∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）．
把x=0，y=3；x=2，y=3分别代入y=-x2+bx+c中，
得c=33=-4+2b+c，
解得b=2c=3，
∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3；

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），
∴△ABD中AB边的高为4，
令y=0，得-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以AB=3-（-1）=4，
∴△ABD的面积=12×4×4=8；

（3）△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（2）可知OA=1，
∴点A对应点G的坐标为（3，2），
当x=3时，y=-32+2×3+3=0≠2，所以点G不在该抛物线上

Answer 2

　　解：（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，
　　-1-b+c=0-4+2b+c=3
，
　　解得
　　b=2c=3
，
　　故抛物线为y=-x2+2x+3
　　又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得
　　-k+n=02k+n=3
，
　　解得
　　k=1n=1
　　故直线AC为y=x+1；
　　（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
　　故直线DN′的函数关系式为y=-
　　1
　　5
x+
　　21
　　5
，
　　当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
　　则m=-
　　1
　　5
×3+
　　21
　　5
=
　　18
　　5
；
　　（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
　　∵点E在直线AC上，
　　设E（x，x+1），
　　①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
　　则F（x，x+3），
　　∵F在抛物线上，
　　∴x+3=-x2+2x+3，
　　解得，x=0或x=1（舍去）
　　∴E（0，1）；
　　②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
　　则F（x，x-1）
　　由F在抛物线上
　　∴x-1=-x2+2x+3
　　解得x=
　　1-17
　　2
或x=
　　1+17
　　2
　　∴E（
　　1-17
　　2
，
　　3-17
　　2
）或（
　　1+17
　　2
，
　　3+17
　　2
）
　　综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（
　　1-17
　　2
，
　　3-17
　　2
）或（
　　1+17
　　2
，
　　3+17
　　2
）；
　　（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
　　∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）
　　=-x2+x+2
　　又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
　　=
　　1
　　2
PQ•AG
　　=
　　1
　　2
（-x2+x+2）×3
　　=-
　　3
　　2
（x-
　　1
　　2
）2+
　　27
　　8
　　∴面积的最大值为
　　27
　　8
．
　　方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
　　设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
　　又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
　　=
　　1
　　2
（x+1）（-x2+2x+3）+
　　1
　　2
（-x2+2x+3+3）（2-x）-
　　1
　　2
×3×3
　　=-
　　3
　　2
x2+
　　3
　　2
x+3
　　=-
　　3
　　2
（x-
　　1
　　2
）2+
　　27
　　8
　　∴△APC的面积的最大值为
　　27
　　8
．
　　

Answer 3

解：（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得
-1+b+c=0-9-3b+c=0​，（2分）
∴b=-2c=3​，（3分）
∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；（4分）

（2）存在．（5分）
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称，
∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y=-x2-2x+3，
∴C的坐标为：（0，3），
直线BC解析式为：y=x+3，（6分）
x=-1时，y=-1+3=2，
∴点Q的坐标是Q（-1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）
理由如下：如图，设P点（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0），
则PE=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x，
∴S△BPC=12×PE×[x-（-3）]+12×PE×（0-x），
=12（x+3）（-x2-3x）+12（-x）（-x2-3x）
=-32（x2+3x），
=-32（x+32）2+278，
当x=-32时，△PBC的面积有最大值，最大值是278，
当x=-32时，-x2-2x+3=154，
∴点P坐标为（-32，154）；（11分）

（4）在Rt△OBC中，BC=OB2+OC2=32+32=32，
运动t秒时，BM=43t，BN=32-2t，
①∠BMN是直角时，∵△MBN∽△OBC，
∴BMOB=BNBC，
即43t3=3
2-
2t 3
2，
解得t=97，
②∠BNM是直角时，∵△NBM∽△OBC，
∴BMBC=BNOB，
即43t3
2=3
2-
2t3，
解得t=95，
综上所述，t为97或95时，以B，M，N为顶点的三角形与△OBC相似．