Question

如图,三角形ABC内接于圆O,弦AD平分∠BAC,DE⊥AB于E. (1)若AB=9,AC=5.求AE的长;

(2)你发现AE于AB.AC之间怎在怎样的关系，并证明。

Answer 1

第一个问题：
过D作DF⊥AC，垂足为F。
∵D在∠EAF的平分线上，又DE⊥AE、DF⊥AF，∴DE＝DF。
由DE＝DF、AD＝AD、∠AED＝∠AFD＝90°，得：Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE＝AF。
∵AB＝9、AC＝5，∴E在线段AB上、F在线段AC的延长线上。
∵A、B、D、C共圆，且∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，又DE＝DF、∠BED＝∠CFD＝90°，
∴Rt△BDE≌△CDF，∴BE＝CF，∴AE＝AB－BE＝9－BE、AF＝AC＋CF＝5＋BE，
而AE＝AF，∴9－BE＝5＋BE，∴BE＝2，∴AE＝9－2＝7。

第二个问题：
∵AE＝7＝5＋2、AC＝5、BE＝2，∴AE＝AC＋BE，又AE＝AB－BE，∴2AE＝AB＋AC。

Answer 2

我的天，度娘太万能了……