Question

为什么矩阵A*2=A可对角化,则其特征值只能是0或1

Answer 1

先证其特征值只能为0和1
设k是他的特征值，a为其对应的特征向量
A^2a=Aka=k^2a
因为A^2=A,故A^2a=Aa=ka
(k^2-k)a=0,因为a为非零向量故k=0或1

矩阵可对角化。
因为A(A-E)=0
故n=r(A-(A-E))<=r(A)+r(A-E)<=n
故(A-E)x=0的解空间维数恰为r(A)，那么1的重数>=r(A)
类似的Ax=0的解空间维数恰为r(A-E)，那么0的重数>=r(A-E)
但1的重数加0的重数不大于n，夹逼得1的重数=r(A)，且其对应的线性无关的特征向量有r(A)个，
0的重数=r(A-E)，且其对应的线性无关的特征向量有r(A-E)个

不同的特征值对应的特征向量线性无关，所以一共有n个线性无关的特征向量，故其可以对角化。

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示