Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点a（-2,0）、b（2,0）、c（0，2√2）

p（√2，,2），直线cp交x轴于点d，试比较∠bpd与∠bap的大小

Answer 1

在平面直角坐标系中，已知点A(-2,0)、B(2,0)、C(0，2√2)、P（√2，2），直线CP交x轴于点D，试比较∠BPD与∠BAP的大小

解：如图，RT△CPF∽RT△COD，OD/OC=FP/FC，

故OD=OC×FP/FC=2√2×√2/(2√2-2)=2(√2+1)；

tan∠BAP=PE/AE=2/(2+√2)=2-√2=0.5858

tan∠BPD=tan(∠EPD-∠EPB)=(tan∠EPD-tan∠EPB)/[1+(tan∠EPD)(tan∠EPB)]

=(ED/EP-EB/EP)/[1+(ED/EP)(EB/EP)]

=[(OD-OE)/EP-(OB-OE)/EP]/{1+[(OD-OE)/EP][(OB-OE)/EP]}

=[(√2+2)/2-(2-√2)/2]/{1+[(√2+2)/2][(2-√2)/2]}=(√2)/(1/2)=2(√2)/3=0.9428>0.5858

tan∠BPD>tan∠BAP，∴∠BPD>∠BAP

Answer 2

解：先求出直线CP与X轴的交点D的坐标：
过P作PE⊥Y轴，垂足为E。
Rt△CEP~Rt△COD. (AAA).
CE/CO=PE/OD.
OD=PE*CO/CE [CE=2√2-2, PE=√2, CO=2√2].
OD=([√2*2√2/(2(√2-1).
=2(√2+1)/(√2-1)(√2+1.
=2√2+2.
DB=OD-BO.
=2√2+2-2.
=2√2.
|PA|=√(10+4√2)
|PB|√(10-4√2).
|PD}=√(10+4√2)
|AD|=2√2+4.
两次利用余弦定理，可求得∠BAP=83.96°, ∠BPD=2.63°.
∴∠BAP＞∠BPD.

Answer 3

解:作PQ⊥AD于Q(√2,0);
设C,P过的直线为y=kx+b(k≠0），则
b=2√2且√2k+b=2解得k=√2－2,b=2√2;
直线CP:y=﹣(2－√2)x＋2√2交x轴于点D(2√2＋2,0)
AQ=√2－(﹣2)=√2＋2,QD=(2√2＋2)－√2=√2＋2＝AQ,
又PQ⊥AD
∴PA=PD
∴∠PAD＝∠PDA
BP=√﹙PQ²＋BQ²﹚＝√﹙2²＋﹙2－√2﹚²﹚＝√﹙10－4√2﹚＜√8＝BD
∴∠PDB＜∠BPD,即∠BPD＞∠PAB﹙＝∠PDB﹚