Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（-2,0），点B（2,0），点C（0,3），点D是线段CA延长线上一点，点E是线段BC

上一点，DE交x轴于点G，EF垂直AB于点F。（1）若点G是DE中点，试问线段BE、AD有何数量关系？为什么？（2）在（1）的条件下，求三角形CGF的面积

Answer 1

 

(1)

根据已知条件画图，如图

设BC方程式为 Y=AX+B

点B（2,0），点C（0,3）

0=2A+B

3=0*A+B

B=3，A=-3/2

BC方程式为 Y=-3/2X+3

同理得AC方程式 Y=3/2X+3

 

做E点相对于X轴的影射点H，连接DH、BH

由已知条件知EF⊥AB，则EF与EH同线（如图）

 

设点E坐标为（X1,Y1），点D坐标为（X2,Y2）

又点E在BC上，点D在CA延长线上

得Y1=-3/2X1+3，Y2=3/2X2+3

∵E、H点相对于X轴影射，EF=FH

∴Y1=-Y2

-3/2X1+3=3/2X2+3

X1-X2=4

X1-X2=DH=4

 

 

∵△EDH中,F是EH中点,G是DE中点

∴GF∥DH

 

∵点A（-2,0），点B（2,0）

∴AB=4

又DH=4

∴AB=DH

四边形ABHD为平行四边形

AD=BH

 

∵E、H点相对于X轴影射

∴BE=BH

∴BE=AD

 

(2)

 

按（1）求出DH=4

△DEH中G为DE中点,F为EH中点，GF∥DH

则GF=1/2DH=2

点C（0,3）则△CGF高为3

S△CGF=1/2x2x3=3

Answer 2

解：（1）从E作EP∥AC，交X轴于P
A（-2，0），B（2，0）
所以AO=BO
C为Y轴上一点，所以CO⊥AB
根据三线合一，△ABC为等腰三角形，AC=BC，∠CAB=∠B
EP∥AC，∠EPB=∠CAB=∠B。
所以△EPB为等腰三角形，EP=BE
在△ADG和△PEG中
AC∥EP，∠ADG=∠PEG，∠DAG=∠EPG
DG=EG
所以△ADG≌△PEG。
AD=EP=BE
（2）从D作DM⊥X轴于M
在△ADM和△BEF中
∠DAM=∠CAB=∠B
∠DMA=∠EFB=90
AD=BE
所以△ADM≌△BEF，AM=BF。
FM=AB+AM-BF=AB
在△GMD和△GFE中
∠GMD=∠GFE=90
∠MGD=∠FGE
DG=EG
所以△GMD≌△GFE，GM=GF
因此GF=FM/2=AB/2
△CGF的底是△ABC的1/2，高相同，因此面积是△ABC的一半
S△ABC=1/2×AB×CO=1/2×4×3=6
S△CGF=S△ABC/2=3