Question

已知实数x、y、z,满足3x-2y-4z=-9且x+2y-4z=5，试求出x^2＋y^2＋z^2的最小值

Answer 1

3x-2y-4z=-9
x+2y-4z=5
联立方程解得：
y=0.5x+3.5
z=0.5x+0.5
所以有：
x²+y²+z²
=x²+(0.5x+3.5)²+(0.5x+0.5)²
=1.5x²+4x+12.5
=1.5[x²+8x/3+(4/3)²]-8/3+12.5
=1.5(x+4/3)²+59/6
所以可得：当x=-4/3 时有最小值为：59/6

追问

我按你的方法计算了一下，结果跟你的不一样呢

Answer 2

3x-2y-4z=-9 (1)
x+2y-4z=5 (2)
(1)-(2)得
2x-4y=-14 x-2y=-7
x=2y-7 代入（2）得
2y-7+2y-4z=5
4y=4z+12
y=z+3
则 x=2z-1

x²＋y²＋z²=(2z-1)²+(z+3)²+z²=4z²-4z+1+z²+6z+9+z²
=6z²+2z+10
=6(z²+1/3z+5/3)
=6[z²-1/3z+(1/6)²-(1/6)²+6/3]
=6(z-1/6)²+71/6
当z=1/6时
x²＋y²＋z²有最小值 71/6

Answer 3

已知实数x、y、z,满足3x-2y-4z=-9且x+2y-4z=5 ，
那么，4x-8z=-4
x-2z=-1
x=2z-1 (x是奇数）
当x=1时，z=1, y=4 ,
即 x^2＋y^2＋z^2
=1+16+1
=18 。

Answer 4

解：由 3x-2y-4z=-9，x+2y-4z=5，得 x=2z-1 y=z+3
则 x²+y²+z²=(2z-1)²+(z+3)²+z²=6z²+2z+10=6(z+1/6)²+59/6
∴ 最小值为59/6