Question

数学什么也证明不了

Answer 1

就在库尔特·哥德尔发表其“不完备性定理”的一年之前，全世界的数学家聚集在德国格尼斯堡，参加一次重量级的数学逻辑学大会。该次会议同时也是大卫·希尔伯特的告别舞台——他马上就要退休了。大卫·希尔伯特在全体与会数学家的掌声当中宣读了自己的退休宣言。这份宣言的最后一段慷慨陈词引发了现场的轰动：“对于数学家而言，世间没有什么不可知；而且在我看来，一切自然科学亦都是如此。之所以从未有任何人能够成功举出一个不可解决之问题，以本人之见，就是因为世上本来就不存在不可解决之问题。相比较于那些拥抱不可知论的愚昧学究们，我们这些数学家所持有的信念是：我们必须要知道！我们也终将能够知晓！”（最后这句话在数学界非常有名——数学家们将其视为希尔伯特的信仰宣言；这句话于日后亦成为了希尔伯特的墓志铭；德语原文如下：Wirmüssen wissen! Wir werden wissen!） 然而，仅仅过了一年多时间，希尔伯特的退休宣言就成为了古典哲学家手中的笑柄。不完备性定理的“致命一击” ，使得数学家头一次谦虚地意识到自己 十九世纪初，俄国数学大师尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolaslvanovich Lobachevsky ）就发现欧几里德的“平行公理假设”其实是一个循环论证：过直线外一点有且只有一条直线不与该直线相交并不能够被独立地证明！认为两条平行线无限延长仍然不会相交仅是人类的直觉感受而已！ 罗巴切夫斯基想通过反证法证明“平行公设”，即假设过直线外一点不止一条直线与该直线平行，然后试图找出几何学上存在巨大矛盾。但是罗巴切夫斯基却惊讶地发现：这样一种与欧几里德“平行公设”相悖的出发点依旧能够推导出一种有别于欧几里德几何却同样完美的公理体系，即如今人们所熟知的罗氏非欧几何原理（ Non-EuclideanGeometry）！　　很讽刺的是：罗巴切夫斯基的新发现并未赢得科学界的高度尊重，就和人类文明史上绝大多数伟大发现所曾经遭受的待遇一样。绝大多数学者认为这种挑战欧几里德的几何学 “明显与人类经验认知不一致 ”，因此一定是错误的！数学家在这种发现新大陆的时刻反而不强调数学理性的 “客观完美和超验性 ”了！压根就没有翻过罗巴切夫斯基相关论文的英国数学家奥古斯都·德摩根（AugustusdeMorgan）甚至 “代表整个数学界 ”给出了最终定论：“我相信，任何时候也不会存在与欧几里得几何学在本质上不同的另外一种几何学。” 这种自信满满的论断听起来十分耳熟。 酷似不懂科学的宗教裁判所对日心说的批判，或是根本了解灵学研究的所谓客观科学家对“超自然存在”的猛烈抨击。直接否定自己所不了解的事物似乎成为了极端宗教人士和科学家最突出、最明显的特征，他们还以此为荣。然而，历史的浪潮总是会无情地褪去那些无知的偏见，将最心胸狭隘的顽固分子粉碎成为无尽的沙砾，映托起超越时代的真理之贝。 人类从非欧几何当中窥见了冰山一角。绝不仅仅是欧几里德原理，几乎所有为近现代科学提供理性基础的学问体系都基于某种不能被证明的假设。牛顿在其《自然哲学的数学原理》中一开篇便是八条定义和三大定律，而这些定义以及人们认为无懈可击的牛顿定律都出自于认知经验，而非数学逻辑的产物。 没有任何人有能力用数学逻辑为惯性、加速度和反作用力提供哪怕一份完备的证明。虽然从这些不可证明之事物出发，科学家能自信满满地罗列一整张充满“因为”、“所以”的可谓“理性”的物理学知识结构图。然而这种所谓的“真科学”却是完全来源于经验的领域，若缺少了不能被理性验证的牛顿三大定律，物理学将什么都不是！这也就是说，科学本身来自经验。 科学的基础就是经验，其发展才需要借助理性的构建。是理性将科学家的认知触角延伸，但是有没有包含理性却并非判别一门学问是否应该属于科学的标准！理性仅是帮助科学成长的良好环境，却绝非科学最初得以产生的本质原因！ 然而很可惜，许多所谓科学家并不愿意这样认为（或许由于他们太过缺乏哲学涵养）。他们持有的观点始终都是：包括中医在内的许多民间的 “纯粹经验性的学问”绝不是科学！他们对实证主义的信仰甚至超越了十字军对罗马教会的执着狂热，却从来也没有勇气质疑自己所疯狂信奉的这套物理学是否也来源于经验知识。有趣的是：这些科学家高举着实证主义的哲学旗号，却从来不考察中医在具体临床疗效上远强于现代医学的事实情况，就更不要说他们根本不了解中医背后亦存在着一整套精深而完备的超越认知经验的理论体系了——没有哪一位习惯于批判中医的所谓科学界人士知道中医其实是一种基于《易经》理论而非临床治疗经验的古老的科学！　　当然，中医的案例其实还远不够讽刺。科学体系内部的趣闻才能更好地说明科学家的双重标准。量子力学研究领域中最富盛名的 “薛定谔方程”（Schrödinger Equation）就是极好的例子。迄今为止，仍然没有任何一位理论物理学家敢于声称自己读懂了薛定谔方程。因为这套方程纯粹是根据实验数据而总结的 “经验性公式 ”。就连喜欢用数学思维解决物理问题的海森堡都对薛定谔方程感到不满意。他在写给泡利（WolfgangPauli）的信中谈道：“我越是思考薛定谔理论的物理意义，就越是感到恶心。薛定谔对他那套理论的形象化描述简直毫无意义。换一种说法，纯粹就是些扯淡的东西！（此处德语原文为Mist）”“量子力学教父”尼尔斯·波尔亦曾谈到过薛定谔方程。不过他的态度比较开明。波尔认为：这套方程本身就是在试图描述许多“测不准”的事物，因此作为一个经验公式，只要方便、实用并且能够提供可靠数据就行。而物理学领域中，像薛定谔方程这样“方便实用”但是却根本没有物理学意义，甚至就连数学家都解不出来的方程还有一大堆。其中最富有人气的就是流体力学中著名的纳维—斯托克斯方程（Navier– Stokes Equations ）以及量子场论的核心经验公式杨振宁—米尔斯方程组（Young– Mills Equations ）。这两组方程式的共性就在于：它们都是理论物理学家根据实验数据所总结的纯经验公式；至于这两组公式究竟有什么理论含义，可爱的科学家根本就不在乎！甚至就连数学家都不保证这两组方程有解！在千禧年之夏，“终极超弦理论之父”爱德华·威腾曾经这样表示：“对自然科学的理解在历史上一直是数学灵感的一个重要来源。因此，在新世纪之初，物理学家用于描述自然定律的主要框架无法用数学处理，确实令人们感到十分沮丧。找到杨振宁—米尔斯方程组的通解在本质上将意味着人类真正理解了量子物理学的标准模型，这将成为21世纪的数学追赶上20世纪理论物理学的一座里程碑。” 如今科学家所持有的这种双重标准对于所有“非科学的东西”都要求严格的理性推导，却明目张胆地在“自留地”里“搞特殊” 。只要被纳入“正统科学”就是“掺杂着经验的理性” ，而其余全部都是“无理性的经验主义”！也难怪同时具备宗教信徒和天文学大师双重身份的欧文·金格利什会发出最由衷的感慨：科学究