Question

已知等差数列 an 的前n项和为sn,等比数列bn前n项和Tn且a1=b1=2,s2=T2,T2+T3=S4

问：设数列{an.bn}的前n项和为Cn，求Cn

Answer 1

3个3维向量线性相关的充分必要条件是它们组成的行列式等于0.
行列式
|a1,a2,a3|
=
1
1
1
t1
t2
t3
t1^2
t2^2
t3^2
=
(t2-t1)(t3-t1)(t3-t2).
由已知
t1,t2,t3为互不相等,
所以
|a1,a2,a3|
≠
0.
所以
a1,a2,a3
线性无关.
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Answer 2

解：
设{an}公差为d，{bn}公比为q
S2=T2
2a1+d=b1+b1q
a1=2 b1=2代入，整理，得d=2q-2
T2+T3=S4
b1+b1q+b1+b1q+b1q²=4a1+6d
a1=2 b1=2 d=2q-2代入，整理，得
q²-4q+4=0
(q-2)²=0
q=2 d=2q-2=2×2-2=2
an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n
bn=b1q^(n-1)=2×2^(n-1)=2ⁿ
cn=an·bn=2n·2ⁿ=n·2^(n+1)
Cn=c1+c2+...+cn=1×2²+2×2³+3×2⁴+...+n×2^(n+1)
2Cn=1×2³+2×2⁴+...+(n-1)×2^(n+1)+n×2^(n+2)
Cn-2Cn=-Cn=2²+2³+...+2^(n+1) -n×2^(n+2)
Cn=n×2^(n+2)-[2²+2³+...+2^(n+1)]
=n×2^(n+2)-4×(2ⁿ-1)/(2-1)
=(n-1)×2^(n+2) +4