Question

已知数列{An}满足(An+1)+(-1)^n*An=n(n属于N*),则数列{an}的前2016

已知数列{An}满足(An+1)+(-1)^n*An=n(n属于N*),则数列{an}的前2016项和为，求过程

Answer 1

a(2n)-a(2n-1)=2n-1
a(2n+1)+a(2n)=2n
[a(2n+1)+a(2n)]-[a(2n)-a(2n-1)]=1
a(2n+1)+a(2n-1)=1
a1+a3+a5+...+a2015
=(a1+a3)+(a5+a7)+...+(a2013+a2015)
=1×504
=504

a2-a1=1
a4-a3=3

…………
a2016-a2015=2015
累加
(a2+a4+...+a2016)-(a1+a3+...+a2015)=1+3+...+2015=1008²=1016064
a2+a4+...+a2016=(a1+a3+...+a2015)+1016064
a1+a2+...+a2016=(a2+a4+...+a2016)+(a1+a3+...+a2015)+1016064
=2(a1+a3+...+a2015)+1016064
=2×504+1016064
=1017072

推广：一般的像此类题目求前4n项和：
a(2n)-a(2n-1)=2n-1
a(2n+1)+a(2n)=2n
[a(2n+1)+a(2n)]-[a(2n)-a(2n-1)]=1
a(2n+1)+a(2n-1)=1
a1+a3+...+a(4n-1)=(a1+a3)+(a7+a5)+...+[a(4n-1)+a(4n-3)]=n
a2-a1=1
a4-a3=3

…………
a(4n)-a(4n-1)=4n-1
累加
[a2+a4+...+a(4n)]-[a1+a3+...+a(4n-1)]=1+3+...+(4n-1)=(2n)²=4n²
a2+a4+...+a(4n)=[a1+a3+...+a(4n-1)]+4n²
a1+a2+...+a(4n)=[a2+a4+...+a(4n)]+[a1+a3+...+a(4n-1)]+4n²
=2[a1+a3+...+a(4n-1)]+4n²
=2n+4n²
=2n(2n+1)
以上过程也说明了为什么此类题目要求的前n项和，那个n总能被4整除的原因。