Question

为什么A的特征值为λ1...λnE+A的特征值为1+λ1........

Answer 1

首先，E（n阶）的特征值只有1且任意n个线性无关的列向量都是E的特征向量。设A的一个特征值为λ，属于它的A的特征向量为α，则Aα＝λα，所以（E-A）α＝Eα-Aα＝1α+λα＝（1+λ）α，即1+λ是E+A的特征值。
补充：E的特征值只能是1这个很好证明，直接写出特征多项式|λE-E|=（λ-1）^n，它的根只有1；而λE-E得到的0矩阵，因此任意向量都是方程（λE-E）X=0的解，所以只需使它们线性无关即可。

追问

是他们线性无关是什么意思，最后一句

追答

基础解系必须满足的条件呀，基础解系中的每一个解向量都必须线性无关，这是对所有的齐次线性方程组而言的。

追问

知道，多谢。下次怎么问你呢

追答

只要是你能联系上我的方式，都行〜

追问

那我就不给好评了，就在这里问

追答

😂给好评也可以追问

多谢你的采纳〜
不过好像连续追问会消耗你的财富值。。。你可以直接向我提问，或者私信我，都行〜

追问

手机没办法私信。A与B相似，为什么秩相等？

还有λ1≠0,λ2≠0... λr≠0后面的全等于0推不出A的秩为r？

追答

两个相似的矩阵一定可以经过一系列初等行变换或初等列变换化得，而初等变换是不会改变矩阵的秩的〜

还需要矩阵「能对角化」这一条件，比如矩阵[0 1 0；0 0 1；0 0 0]

它的特征值都为0，但是矩阵的秩为2

追问

为什么列变换也能求秩，而书上一般就讲行变换？

两个相似的矩阵一定可以经过一系列初等行变换或初等列变换化得，。。。书上怎么没有这句话。是定理吗

追答

列变换也是可以的，这在于你是把矩阵看成是行向量组还是列向量组，你进行列变换求出的矩阵的秩与行变换是一样的，别忘了，矩阵的秩=列秩=行秩

你可以这样想，如果A相似于B，那么一定存在一个可逆矩阵P，使P^（-1）AP=B。对于一个矩阵，左乘一个可逆矩阵相当于把矩阵进行一系列初等行变换，右乘一个可逆矩阵相当于把矩阵进行一系列初等列变换。所以A经过一系列初等变换一定可化得B。

追问

列变换求秩时，是看有多少列不为0吗？行列变换能在一起进行吗

追答

对。
如果单单求矩阵的秩，是可以的，但是题目如果还要你写出极大线性无关组等，这样的话只能进行单独的变换。

追问

如果a1,a2..an都是矩阵A属于特征值λ的特征向量，那么当b=k1a1+k2a2+...+knan非零时，b仍是A的特征值λ的特征向量。为什么？

追答

λa1=Aa1
λa2=Aa2
...
λan=Aan
将上面n个式子相加就行〜

追问

那个k是什么意思？

追答

不好意思之前没看清楚。。。那就在所有式子等号两边分别乘ki再加起来

可以化得λ（k1a1+k2a2+...+knan）=A（k1a1+k2a2+...+knan）即b是属于λ的A的特征向量

追问

完全不懂这个

能分析一下吗

追答

我也想不出什么特别好的方法。。。我的想法是把每一列看成是两组数相加：

要得到λ的几次方含λ的列就应该有几列

追问

我得慢慢看看

追答

算S2的时候，3个小行列式按λ所在的列展开

原理能不能看懂。。。其实就是行列式的一个性质，某一列是两组数的和，则行列式等于两个行列式的和，那一列分别是两组数，其余列不变

追问

看懂了，这个性质知道，多谢了。后面那个秩等于1呢，什么意思

追答

一比较发现是S2、|A|不见了，这是由于r（A）=1，所以A的任意2阶子式都为0于是S2=0，又由于A不满秩于是|A|=0。

追问

你现在还在读书吗

追答

😂我还在读大一啊。。。

追问

大一学线性代数？

追答

我们其实不学线性代数，学的是高等代数，上学期就开始学了，上册内容基本跟线性代数差不多。

追问

你是学数学的？

追答

算是吧。。。我读的是师范，专业是数学。

追问

不错，虽然我不是学这个的，感觉你懂的比较多

追答

谢谢〜其实我还欠缺很多，做题严谨性不够、思维也比较局限而且很粗心！还要多多努力啊。。。

追问

同阶矩阵AB秩相同，为什么不一定相似？

追答

相似矩阵秩一定相等，但是秩相等的矩阵不一定相似，比如E和2E（对角线都为2），它们秩都为3，但是它们行列式不等明显不相似。矩阵秩相等与矩阵相似没什么必然联系。

相似矩阵秩一定相等，但是秩相等的矩阵不一定相似，比如E和2E（对角线都为2），它们秩都为3，但是它们行列式不等明显不相似。矩阵秩相等与矩阵相似没什么必然联系。

追问

AB相似，为什么AB的转置相似。逆相似，伴随阵相似？

追答

前两个其实都是一样的方法。。。若A与B相似，则P^（-1）AP=B，对这个等式两边分别取转置、取逆

伴随矩阵的话，由AA*=E|A|得A*=A^（-1）|A|，前面已经证了它们逆矩阵相似了，而|A|=|B|，所以伴随矩阵也相似。

追问

若AB相似，存在的可逆矩阵是不是为什么要求？

追答

嗯？没明白你的意思。。。

追问

就是说要使AB相似，只需要有可逆矩阵即可

追答

不是。P^（-1）AP=B则A与B相似，这才是相似的定义。仅由A、B可逆推不出它们相似，类似的还有行列式相等、秩相等、特征值相等均推不出相似。

追问

概率论懂吗？

追答

不懂...

追问

级数懂吗

追答

可以试一试。。。

追问

一般级数加绝对值后，如果是发散，但是原级数也可能收敛。在这种情况下怎么判断收敛的情况

追答

加绝对值号后若收敛则原级数一定收敛，此时称级数绝对收敛；若加绝对值号后发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。
一般判断的顺序是先判断是否绝对收敛，若否则判断是否条件收敛。
判断出非绝对收敛后，判断是否条件收敛一般看级数是否是或者能否转化成莱布尼茨型级数。

追问

也就是交错级数？

关键是一般的级数能转换吗

追答

嗯嗯〜是的，就是正负交替的那种。。。
当1＜x＜n时，1^（1／n）＜x^（1／n）＜n^（1／n）
而lim1^（1／n）=1，limn^（1／n）=1，由夹逼收敛准则，limx^（1／n）=1

有些不一定能转换。不能转换的还可以用Dirichlet或者Abel判别法。

追问

你是男生还是女的啊？

追答

女生啊。。。为什么大家都怀疑我的性别😂

追问

感觉你是你是女生

追答

哈哈，你的感觉是对的〜

追问

你在哪个省

追答

家是云南的，在吉林读书

追问

跑的够选的

远

追答

哈哈，是呀

追问

为什么用比值或根值审敛法，加绝对值后的级数发散，原级数一定发散？一般项为什么不趋于0？

追答

因为由这两种判别法判断出正项级数发散的本质原因是由于通项不趋于0。对于一切级数的通项加绝对值号后若根据这两种判别法判断出级数发散，则说明级数的通项加绝对值号后不趋于0，去除绝对值号，仍不趋于0。
对一切级数，只要通项不趋于0，级数一定发散。

你们课本上如果有这两种判别法的证明，可以去看看。
如果没有我拍给你。

追问

就是不懂为什么通项不趋于0

追答

这个是比值判别法的证明，注意我画波浪线的地方

这个是根值判别法

判断幂级数收敛半径那个，可以用。

追问

书上说那个不是相邻两项，不能用

追答

我错了。。。没好好看题目-_-#确实不能，这个幂级数只含x的偶次项，所以不能用这种方法，因为an与an+1一定有一个为0。

追问

但是不也有an与an+1项吗

追答

我想应该是为了避免分母为0的情况吧。。。
其实还是柯西-哈达玛定理比较通用

x是几次方就开几次幂

追问

把那个定理我看看，你用qq吗，

追答

就是像根值判别法的那个。。。

追问

书上的呢？

追答

网速不给力啊T_T图片发不过去。。。

有qq，在我主页上，但是我就是属于那种千年不上线的人。。。(￣▽￣)

追问

不上线那不还是找不到你。那个极限上加一痕什么意思？

追答

是上极限的意思，严格严格是这样才对。很多高数课本似乎完全没有提到上极限的概念，所以不用太在意...

追问

这个不还是针对x∧n的吗

an x∧n

解释一下

追答

前面那个可以转化成标准形式，写出x次数为n的那项再用柯西-哈达玛定理

追问

怎么写？

追答

我已经对我们学校的网速无语了😭

若幂级数的收敛半径是R，则它在(－R,R)上一定绝对收敛，在|x|>R时一定发散
，只可能在x＝R或x＝－R处条件收敛。所以R=|x0|

追问

你写的那个是通项吗
？怎么感觉不对啊，看不懂

追答

😂其实我也不知道严格的应该怎么写。。。老师木有给我们讲，就说让我们记着x是几次就开几次方。。。😂

追问

但是你前面那个an是那样推的吗

追答

嗯，就是相当于找到x^n的项

追问

看不懂

追答

Sorry...这块我也学得不太好，所以不能自圆其说。不如问问万能的百度？(￣▽￣)

追问

要不你查查，靠你了，😄

？

追答

洗衣服去了刚刚😂
那待会儿我去看看。。。

追问

你都没出去玩？

追答

出去了啊，不过就是了随便转了转，儿童节嘛，还是得过过节😂

要不然我明天再看吧。。。现在各种困😴

追问

没关系，你有时间就好

追答

那早点睡觉吧^_^〜〜〜
晚安🌙

追问

你说这个思路是什么？

幂级数一定要一般项都是种表达式吗

追答

昨天那个问题没搜到呀。。。我提问了，也没人答😪

追问

看今天的

追答

我们刚刚上幂级数展开。。。为了不误导你，先对下答案吧〜😂

追问

好

追答

答案多少？

追问

追答

哈，对了〜等下我把过程写给你

追问

可以

追答

图发不过去😓

思路就是先将arctanx求导，它的导函数（是一个等比级数的和函数，公比为-x^2，首项为1）很容易得到泰勒展式，再对它求0到x的积分就能得到arctanx的泰勒展式了。

追问

为什么是0到x积分？

追答

因为我们要求原函数呀，∫（t从0到x）f'（t）dt=f（x）-f（0）=f（x）

追问

知道了

求原函数下限不一定是0吧？其他可以吗

追答

如果下限是x0，则求得的结果是f（x）-f（x0），我们的目的是得到f（x），所以要让f（x0）=0。这个题x0=0时f（x0）=0

追问

这一题f(0)≠0怎么也计算？

？

这个题

？

追答

波浪线地方不理解吗？

追问

我的意思是它积分为什么在0到x？是定义吗

追答

呃，啥意思。。。你不是问这道题？0到x积分我之前解释过了呀〜

追问

这道题也是啊

从0到x

解释不是很清楚

追答

追问

你看这道题怎么求？

追答

追问

那个和函数逐项可积分是0到x积分吗

追答

求f（x）是-1到x
求收敛半径得R=1，所以（-1，1）上都是一致收敛呀可以逐项积分

追问

我再问一下，书上和函数性质里面，逐项积分怎么是0到x？我不理解

追答

只要x在收敛域内都可以逐项积分，若收敛域是（-R，R），则对于任意x属于这个区间，当然有在0到x上可以逐项积分

追问

那就是说下限是随便的吗，我越来越不懂

追答

因为很多函数都是f（0）=0，所以求原函数是∫（t从0到x）f'（t）dt=f（x）-f（0）=f（x），但做题的时候不能直接把下限写成0，要经过检验

课本上那个0到x的积分是为了求原函数

记住一句话，就是只要x在收敛域就能逐项积分

追问

课本上的那个在0处不一定等于0吗

追答

是呀，刚刚那道题就是，你把0代进去，f（0）不等于0的

追问

但是那道题的答案就是求出了f(0），而且答案中也有π/4，就是f（x）=f(0)+求和的

追答

你把后面的解答拍给我看看

追问

要过一下，现在不在我身边

现在那边什么时候天黑？

追答

7点左右吧。。。

追问

我那天看到你的名字，叫殷什么，忘了

追答

殷润芳😂你在哪儿看到的？

追问

qq啊，你不是你说的嘛

追答

哈哈，对对

追问

不过没找到你的靓照

追答

是这样么？

追问

是的，

有什么感想

追答

我错了T_T。。。我这章果然学得很烂，低级错误啊

追问

都是正确的吗？

追答

这个地方错了

如果计算没错应该也是对的，就是后面再加上那个等于pi／4的级数

追问

积分下限取什么没有关系吗

追答

是的，只要在收敛域都可以，但是这样看来最好还是取0吧，没有后面那个。。。

追问

意思下限也要在收敛域吗

追答

嗯嗯〜
所以我的不对。。。-_-#
-1不在收敛域内

追问

？

追答

我看到了，我得先去上课了。。。

追问

好

有没有问错

追答

追问

我明白了，谢谢

求函数的幂级数展开式一般思路是什么？有先积分的那种吗

追答

有先积分再求导，也有先求导再积分，主要是观察an的形式

还有可能拆成几项的

追问

幂级数的一般项一定是有规律的吗

追答

你指的有规律是什么？

追问

就是有通项

追答

。。。呃，我觉得你应该问是不是每一个函数都存在幂级数😂

幂级数的定义就是形如∑anx^n的级数啊

追问

我的意思是就是幂级数每一项一定要有吗

追答

可以缺项啊，那个∑anx^（2n）就是缺项的

追问

知道

你晚上睡得很晚啊

追答

不晚呀😂
基本都是12：00到12：30睡

追问

都干什么

追答

看书听歌玩手机什么的。。。

追问

极限趋于∞，包含正负吗

追答

∞这个符号本身就是表示正无穷或负无穷

追问

是的吧？

追答

是

追问

追答

洛必达

等于0

追问

分子怎么是n-1次方，可以是其他的吗

？

追答

呃，什么意思？

追问

就是很简单，为什么-1是n-1次

追答

前一个式子推后一个式子吗？两边同乘（-1）^（n-1）就好了

追问

nice

求解，怎么算啊

追答

第二行加到第一行提出λ+a+1剩下的行列式按定义算就行了

追问

这个公因式怎么求

提取

追答

你确定题目是这个。。。符号什么的没写错？

追问

是的

追答

好吧，我昨晚大体算了一下，感觉结果不太对。。。
对于这种不容易使某一行、某一列变得只有一个非零元素的话，我建议的方法就是硬算：直接按定义把行列式展开，得到一个一元三次多项式，求其根。

现在我给你介绍一个非常好用的求其有理根的方法（一般情况只要题目没错你没写错，矩阵的特征值一般都是整数）：设一元三次多项式为a3x^3+a2x^2+a1x+a0，设它的有理根为q／p，则p|a3，q|a0（|表示整除），从而把它的有理根限制到几个值上，挑几个代进去试就行了

追问

a0为0呢？

追答

那0肯定就是有理根了啊，然后把x提出来里面就是一个n-1次多项式了

追问

那怎么选被a0与a3整除的数呢

追答

是能分别整除a0、a3的数

追问

我无法区分整除与被被的关系

追答

我少说了互素。。。

追问

懂了

整除是p大还是an大？

追答

1|3，1能整除3。。。

追问

n方阵，A,B.AB=E一定有BA=E吗

追答

一定有。若有AB=E，则说明A、B均可逆，且A^（-1）=B，所以BA=BB^（-1）=E

追问

能证明一下吗

这里A不一定是n阶阵吗

追答

r（A）=r（A'）是显然的，A的列向量为A'的行向量，而矩阵的秩等于其列秩等于其行秩

证明r（AA'）=r（A）可以通过证明AX=0与AA'X同解

追问

不懂证

这个怎么证明

追答

应该是证明A'AX=0与AX=0同解：A'AX=A'（AX）=0，显然AX=0的解也是A'AX=0的解
若A'AX=0，则X'A'AX=（AX）'（AX）=0，从而AX=0，所以A'AX=0的解也是AX=0的解
所以AX=0与A'AX=0解相同，则它们的解空间维数相同，根据公式dimW（解空间）=n（未知量个数）-rankA（系数矩阵的秩），有n-r（A'A）=n-r（A），所以r（A'A）=r（A）

r(A) = n时, r(A*) = n，
r(A) = n-1时, r(A*) = 1，
r(A) < n-1时, r(A*) = 0
r（A'）=r（A*）=r（A），要对一切n满足只可能是第一种情况

追问

若A'AX=0，则X'A'AX=（AX）'（AX）=0，从而AX=0为什么Ax=0？

？

追答

若A'A=0则A=0，可以考虑将A按列分块为（a1，a2，...，an），若A'A=0，则ai'ai（是一个数）=0，若ai=（a1i，a2i，...，ani），则a1i^2+a2i^2+...+ani^2=0（i=1，2，...，n），所以aij=0（i、j=1，2，...，n），即A=0

追问

看不懂，你就说A'A的秩怎么等于A的秩。能写在纸上吗

为什么有限个可逆矩阵的乘积仍可逆？

追答

终于全部考完了！我马上回去帮你写。。。

追问

为什么A'A=0能推出A=0？

这个为什么？

这题BB'可逆，能推出B与B'可逆吗？那不是A=0了？

把前面的问题都回答一下吧，

追答

T_T根本没时间看，原来痛苦刚刚开始。。。我们军训

A'A=0，则A=0，你百度吧，我刚搜了，有的（'换成T）

逆矩阵那个试一试用伴随矩阵那个方法能不能做

追问

你们怎么现在军训？

追答

上学期教官抢险救灾去了，据说。。。(ｰｰ;)

B是方阵才行，因为BB'可逆，则|B||B'|不等于0，|B|不等于0，从而B可逆

但是如果B不是方阵，对B取行列式就无意义了，B更不存在可逆这个说法，所以那个式子不能拆开

这个题的方法就是直接计算A'、A^2，直接证明

追问

证法2，为什么秩是3？与可逆有什么关系？

这道题能不能直接说a1.a2...at因为线性无关，所以k1.k2...kt为0？

不需要第一步？

追答

过渡矩阵可逆，则说明b1，b2，b3与a1，a2，a3等价，等价的向量组秩相等。a1，a2，a3线性无关所以r（a1，a2
，a3）=3

不能。得到的不是关于a1，a2，...，at的线性组合为0。

追问

为什么不能？

追答

要是只关于a1到at的线性组合啊，不能还含有其他向量。

追问

β1,β2的秩怎么求的？为什么等于1就相关？

这个题目BCD能确定r与s的关系吗

为什么A错？

追答

b1，b2属于解空间，它们的秩不可能超过解空间维数。解空间维数=n（未知量个数）-rank（A）（系数矩阵的秩）
向量组的秩小于向量的个数，那么该向量组肯定线性相关

若向量组A可以由向量组B线性表出，则一定有r（A）＜=r（B）：
若A线性无关，则r=r（A）＜=r（B）＜=s，所以有r＜=s

若A线性相关，则r＞r（A）＜=r（B）＜=s，不能比较r、s关系
若B线性无关，则r＞=r（A）＜=r（B）=s，不能比较r、s关系
若B线性相关，类似的，不能推出

AB=C，只已知B可逆，则只能说明A经过一系列初等列变换[左行右列原则]可以化为C，从而A、C的列向量等价，行向量不能确定

追问

自然基到底是什么样的基？

能不能写成这样？

也就是说过渡矩阵怎么求

追答

线性代数中的自然基是指由某一维为1其余维都为0的向量组成的一组基，基里的向量均线性无关（摘自百度百科(￣▽￣)）

可以那样写哈

分别求出后一组基中的每一个向量在第一组基下的坐标（以列向量的形式表示），按序合在一起便是过渡矩阵。

追问

当α3=(2,4,2)时，A的值为什么不变？就是求逆相乘后

怎么知道A可逆？

?

追答

因为b3=（2，4，2）^T也是A的属于特征值0的一个特征向量，满足Ab3=0

这个我讲过了。。。
r(A) = n时, r(A*) = n，
r(A) = n-1时, r(A*) = 1，
r(A) < n-1时, r(A*) = 0
又A*A=|A|E
（1）两边右乘A的属于特征值m的特征向量a，有A*（Aa）=|A|a=A*（ma）=m（A*a），所以A*a=（|A|／m）a
（2）两边取行列式有|A*||A|=|A|^4

追问

求相似对角的正交矩阵时，唯一吗

上面那题，任何解出来的α3，形成的可逆矩阵，求出来的A都一样吗？

有什么定理吗

合同对角化时，正交阵唯一吗？

其实我的意思就是，一个特征值有无穷个特征向量，组成的可逆矩阵不是都不一样吗？那为什么那个相乘还相等？

追答

如果有P^（-1）AP=B（B是对角矩），A、B一定，则P不唯一，因为A的特征向量不唯一，P的每一列其实就是分别对应着A的属于某一个特征值的特征向量

只要满足a3是属于0的特征向量，求出的A就是唯一的

没什么定理。。。就好比a+1=2，a+2=3，式子虽然不一样但求出的a一样

AB=AC，B、C不一定相等

追问

画横线的怎么解释？

追答

得到的v的公式去掉前面的固定系数，再分子分母同时平方

追问

我说为什么等价

追答

当x=a时，y最大，那么y^2肯定也最大
相反，当x=a时y^2最大，那么此时y肯定也最大（y>0）

追问

什么情况下都可以吗

追答

对题目这个函数是这样…y^2随y增大而增大，y随y^2增大而增大

追问

周期是多少？怎么求

哪些点等于0？

?

追答

试试二倍角公式吧

追问

你试一下