Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又∠CDA=120°，PA=AB=4，点N在线PB上。
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若二面角A-MN-B的余弦值为√65/65，求PN的长。
最好用空间相量法 不用也行 拜托了～

Answer 1

(1) ∵ PA⊥底面ABCD，BD包含于面ABCD，
∴ PA⊥BD
∵ ΔABC是正三角形，M是AC中点，
∴ AC⊥BD,
又 PA∩AC=A
∴ BD⊥面PAC
又 PC包含于面PAC
∴ BD⊥PC
(2) ∵ PA⊥AB, PA=AB=4,
∴ PB=4√2
所以 |PN|∶|NB|=1∶3
由题意，BD垂直平分AC，又∠ADC=120º, MC=2，
∴ MD=2/√3，
∴| MD|∶|MB|=2/√3∶2√3=1∶3
∴ |PN|∶|NB|=| MD|∶|MB|
又 MN、PD同在平面PBD内，
∴ MN∥BD
又 PD包含于面PDC，MN不包含于面PDC，
∴ MN∥面PDC.

追问

第二问不对吧