Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=

m（m为常数且m≠0），转动直角三角板，两边分别交射线OA、OB于点C、D
1如图，当点C、D都不与点O重合时，求证PC=PD；
2联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求：x与y之间的函数关系式；
3若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA、直线OB分别交于点C、
F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长。

要有详细过程 谢谢

Answer 1

解：（1）①证明：过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90°

∴∠HPC+∠CPN=90°

∵∠CPN+∠NPD=90°

∴∠HPC=∠NPD

∵OM是∠AOB的平分线

∴PH=PN

又∵∠PHC=∠PND=90°

∴△PCH≌△PDN

∴PC=PD

②∵PC=PD

∴∠PDG=45°

∵∠POD=45°

∴∠PDG=∠POD

∵∠GPD=∠DPO

∴△POD∽△PDG

∴S△POD/S△PDG=(PD/PG)^2=4/3

（2）①若PC与边OA相交，

∵∠PDE＞∠CDO

令△PDE∽△OCD

∴∠CDO=∠PED

∴CE=CD

∵CO⊥ED

∴OE=OD

∴OP=(1/2)ED=OD=1

②若PC与边OA的反向延长线相交

过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，

∵∠PED＞∠EDC

令△PDE∽△ODC

∴∠PDE=∠ODC

∵∠OEC=∠PED

∴∠PDE=∠HCP

∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND

∴HC=ND，PC=PD

∴∠PDC=45°

∴∠PDO=∠PCH=22.5°

∴∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=22.5°

∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=(√2/2)x

∴HC=DN=OD-ON=1-(√2/2)x

∵HC=HO+OC=(√2/2)x+x

∴1-[(√2/2)x]=(√2/2)x+x

∴x=√2-1

即OP=√2-1（√2 减去1）