Question

f(x)是定义在（负无穷，正无穷）上的奇函数，且满足如下两个条件

1、对于任意的x,y∈（负无穷，正无穷），均有f(x+y)=f(x)+f(y)
2、当x>0时，f(x)<0，且f(1)=-2
试求定义域为【-3,3】的函数f(x)的值域

Answer 1

令 x=y=0 得 f(0)=0
令 y=-x, 得 f(x)+f(-x)=f(0)=0 ==> f(-x)=-f(x)
令 y>0 得： f(x+y)-f(x) =f(y) < 0, 于是 f(x) 是递减函数。
综上， f(x) 是递减奇函数。
于是 定义域为【-3,3】的函数f(x)的值域为 [f(3), -f(3)].
其中， f(3)=f(2)+f(1)=(f(1)+f(1))+f(1)=3f(1)=-6
所以：定义域为【-3,3】的函数f(x)的值域为 【-6，6】

Answer 2

f(x)的值域为-30,30