Question

证明：若n阶方阵A的伴随矩阵A*可逆，则A可逆

Answer 1

n阶方阵A可逆,|A|≠0

A A*=|A|E

A*=|A|A^(-1)

|A*|=|A|^(n-1)≠0

A*可逆

扩展资料

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。

这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

基本运算

矩阵运算在科学计算中非常重要[8] ，而矩阵的基本运算包括矩阵的加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置

Answer 2

反证即可.

若A不可逆, 则 |A|=0
所以 AA* = |A|E = 0
因为 A* 可逆, 等式两边右乘(A*)^-1 得 A = AA*(A*)^-1 = 0(A*)^-1 = 0
即有 A=0
进而有 A*=0
这与 A* 可逆矛盾.

Answer 3

AxA*=[A]xE
[A]X[A*]=[A]^n
[A*]=[A]^n-1
A*可逆，推出[A*]不等于0
推出[A]不等于0，则A可逆

追问

第一个等式难道不是要A可逆时才能成立的吗