Question

高数无穷小的比较题目

题目1：a（x）=3x^3+x^2arctan1/x,答案是x的高阶无穷小，可是我做出来是极限为一，是等价啊，lim（x属于0）=（3x^2+1）=1，看看是哪里错了

题目二：y(x)=3[1-(1-x)的根号3次]是x的等价怎么证
题目三：lim（x属于无穷）=（1-cos1/x）这个做出来是1/2，对的，但是，x属于无穷，不是属于0，有什么区别？

Answer 1

1、x趋于0时，arctan(1/x)是有界量，|arctan(1/x)|<pi/2。
此时arctan(1/x)不等价于1/x，因此xarctan(1/x)极限不是1，是无穷小
乘以有界量，极限是0。
arctan(x)等价于x要求x趋于0，但本题中1/x不是趋于0，是趋于无穷。
2、会洛必达法则就用洛必达法则求。不会的话分子有理化即可。
分子分母同乘以1+(1－x)^(1/3)+(1－x)^(2/3)得

3[1－(1－x)^(1/3)]＝3x/(1+(1－x)^(1/3)+(1－x)^(2/3))，分母极限是3，
因此此式等价于x。
3、1－cosx等价于0.5x^2，当x趋于0时。
因此x趋于无穷时，1/x趋于0，1－cos(1/x)等价于0.5/x^2了。

追问

第一道还是不太懂诶~O ▽ O什么是有界量，为什么不等价

追答

x是无穷小，|arctan(1/x)|<pi/2是有界量。两者相乘趋于0。
arctanx等价于x必须是x趋于0时，注意这个x趋于0不是指自变量趋于0，而是
不管自变量是如何变化的，只要arctanx中的这个x是趋于0的，
那么arctanx就等价于x。说得明白一点就是arctan(f(x))等价于f(x)时必须要求
f(x)是无穷小量，不是要求自变量x趋于0。自变量的变化趋势是不重要的。
所有的等价量都是这样的，你仔细看看书上的描述。