Question

如图,抛物线与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D。（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
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Answer 1

　　（1）根据三点坐标，可求出该抛物线解析式为y=-x2-2x+3，顶点D坐标(-1,5)

　　（2）根据B、C、D三点坐标，计算 △BCD三边长度，BC=3根号2、DC=根号2、BD=2根号5，符合勾股定理，因此△BCD是直角三角形，角BCD=90度。

　　（3）因为△BCD是直角三角形，△PAC若与之相似，也必须是直角三角形。如图所示，在坐标轴上，存在三个点P（P1、P2、P3）使△PAC为直角三角形，现逐一验证是否与△BCD相似。

　　P1C垂直于P1A，tg P1AC=tg D=3，因此角P1AC＝角D，所以△P1AC与△CDB相似，P1为原点（0,0）

　　P2C垂直于CA，角P2AC＝角P1AC＝角D，所以△P2AC与△BDC相似，AC＝根号10，P2A＝AC/cos角P2AC＝10，所以P2坐标为(-9,0)

　　P3A垂直于AC，角AP3C＝角OAC＝角D，所以△P3AC与△DCB相似，OP3＝OA/tg P3＝1/3，所以P3坐标为(0,-1/3)

　　因此，存在P点坐标(0,0)、(-9,0)、(0,-1/3)，使以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似。