Question

如图，已知抛物线与x轴相交于A(1,0),B(-3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的顶点

如图，已知抛物线与x轴相交于A(1,0),B(-3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的顶点为P,连接AC. (1) 在抛物线上找一点D，使DC与AC垂直且直线DC与x轴交于点Q.求点D的坐标，（2）抛物线对称轴上是否存在一点M,使得SΔMAP＝2SΔACP.若存在，十求出M点的坐标，若不存在,请说明理由.

Answer 1

⑴设抛物线Y=a(X-1)(X+3)，过C(0，3)，得：a=-1，
∴Y=-(X^2+2X-3)=-(X+1)^2+4，
顶点坐标(-1，4)，
由RTΔACO∽RTΔAQC得：AC^2=AO*AQ，
AC=√(OA^2+OC^2)=√10，OA=1，
∴AQ=10，∴Q(-9，0)，
设直线CQ：Y=KX+3，过Q(-9，0)得：K=1/3，∴Y=1/3X+3，
解方程组：
Y=1/3X+3
Y=-X^2-2X+3
得：X=-7/3或X=0(C、D重合，舍去)，Y=20/9。
∴D(-7/3，20/9)。
⑵P(-1，4)、A(1，0)，直线PA解析式：Y=-2X+2，
过C作PA的平行线解析式：y=-2x+3，
令Y=0得X=3/2，∴与X轴交点为R(3/2，0)
AR=1/2，在X轴上找N到使AN=2AR=1，得N(2，0)或0(0)，
过N作PA平行线，得解析式：Y=-2X或Y=-2X+4，
令X=-1，得Y=2或6，
∴M(-1，2)或(-1，6)。

Answer 2

设抛物线的方程为y=ax2+bx+c,因为过A、B、C三点，带入得方程组a+b=0,9a-3b+c=0,c=3。解得a=-1/4，b=1/4， c=3。

Answer 3