Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

Answer 1

⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为 y=ax2+bx+3(a不等于0）
根据题意，得
a-b+3=0
9a+3b+3=0
解得 a=-1,b=2
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3
由y=-x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)
根据勾股定理
得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2
即y＝4－x
又P点(x,y)在抛物线上，∴ 4－x=-x2+2x+3，即 x2-3x=1=0
解得 x=（3加减根号5）/2，（3-根号5）/2小于1 ，应舍去
∴ x=（3+根号5）/2
∴ y=4-x=（5-根号5）/2，即点P坐标为 =（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2）
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）
∴符合条件的点P坐标为（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2） 或（2，3）
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），
根据勾股定理,得CB＝3倍根号2 ,CD＝根号2 ,BD＝2倍根号5
∴CB2+CD2=BD2=20
∴∠BCD＝90°
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中
∵CF＝DF＝1
∴∠CDF＝45°
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）
∴DM‖BC
∴四边形BCDM为直角梯形
由∠BCD＝90°及题意可知
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）

Answer 2

⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为 y=ax2+bx+3(a不等于0）
根据题意，得
a-b+3=0
9a+3b+3=0
解得 a=-1,b=2
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3
由y=-x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)
根据勾股定理
得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2
即y＝4－x
又P点(x,y)在抛物线上，∴ 4－x=-x2+2x+3，即 x2-3x=1=0
解得 x=（3加减根号5）/2，（3-根号5）/2小于1 ，应舍去
∴ x=（3+根号5）/2
∴ y=4-x=（5-根号5）/2，即点P坐标为 =（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2）
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）
∴符合条件的点P坐标为（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2） 或（2，3）
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），
根据勾股定理,得CB＝3倍根号2 ,CD＝根号2 ,BD＝2倍根号5
∴CB2+CD2=BD2=20
∴∠BCD＝90°
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中
∵CF＝DF＝1
∴∠CDF＝45°
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）
∴DM‖BC
∴四边形BCDM为直角梯形
由∠BCD＝90°及题意可知
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）

Answer 3

⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为 y=ax2+bx+3(a不等于0）
根据题意，得
a-b+3=0
9a+3b+3=0
解得 a=-1,b=2
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3
由y=-x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)
根据勾股定理
得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2
即y＝4－x
又P点(x,y)在抛物线上，∴ 4－x=-x2+2x+3，即 x2-3x=1=0
解得 x=（3加减根号5）/2，（3-根号5）/2小于1 ，应舍去
∴ x=（3+根号5）/2
∴ y=4-x=（5-根号5）/2，即点P坐标为 =（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2）
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）
∴符合条件的点P坐标为（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2） 或（2，3）
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），
根据勾股定理,得CB＝3倍根号2 ,CD＝根号2 ,BD＝2倍根号5
∴CB2+CD2=BD2=20
∴∠BCD＝90°
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中
∵CF＝DF＝1
∴∠CDF＝45°
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）
∴DM‖BC
∴四边形BCDM为直角梯形
由∠BCD＝90°及题意可知
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）