Question

数学分析求数列极限，5道题。求过程。

九的6到10小题。谢谢。真的懵了。看到这些题目。第六题开四次方。第七题下面N阶乘，然后开N次方。第八题分母是2的平方3的平方……第九题也是开N次方。第十题下面的指数由一增大到N。我会多给分的！！
求过程

Answer 1

写起来不方便，先解释一下符号吧。

x^y：表示x的y次方
sqrt(x)：表示开根号x
sqrt(n,x)：表示开n次根号x
frac{x}{y}：表示以x为分子，y为分母的分数，即y分之x
lim就直接认定为n趋于无穷时候的情况吧。

(6)由于有公式:x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2*y+x*y^2+y^3)
所以，令x=sqrt(4,n^2+1),y=sqrt(n+1)。
代入，则原式化为frac{-2n*sqrt(n)}{x^3+x^2*y+x*y^2+y^3}
（这一步上面的-2n既是根据x^4-y^4算出来的，下面写起来比较复杂，就直接代入了）
然后你既然之前的题都会做，应该到这里也会了吧，和（5）是一样的道理。可以上下同时除以n*sqrt(n)。因为上下实际上关于n的次方数都是3/2，所以最后应该是剩一个常数的。最后得到-1/2.
方法肯定没错，得数不对的话跟我说一声，我得锻炼计算能力了……

(7)只要证明sqrt(n,1/n!)小于任意给定实数。就可以证明其极限为0.反证法。
即，假设存在k>0,使得对任意n，恒有sqrt(n,1/n!)>1/k，则1/n!>1/k^n。即对任意n，n！<k^n。明显当n足够大的时候会不成立。
所以矛盾。
所以对任意的k，有sqrt(n,1/n!)当n足够大的时候小于1/k。所以极限是0.

ps:写到这里突然发现也许最开始可以不用反证法，而直接找到使得sqrt(n,1/n!)小于1/k 的最小的N值，而这个序列是单调递减的很容易证明，所以就收敛到0了。

(8)
对式子做变换，由于1-1/n^2=(n^2-1)/n^2=(n-1)*(n+1)/n^2所以
原式=lim(frac{1*3}{2^2}*frac{2*4}{3^2}*frac{3*5}{4^2}*...*frac{(n+1)(n-1)}{n^2}）(大部分项都抵消掉了）
=lim(frac{n+1){2*n})
=1/2

这个你自己在纸上写一下写成分数形式就很容易看了。

(9)这道题明显答案是1啊……
就用夹逼定理好了sqrt(n,n)<sqrt(n,n*lgn)<sqrt(n,n^2)（当n足够大时成立）
而lim sqrt(n,n)=lim sqrt(n,n^2)=1这应该是已知的结论，任何一本写数学分析的书上面都应该有的。可以用伯努利不等式直接证明。

Answer 2

写起来不方便，先解释一下符号吧。

x^y：表示x的y次方
sqrt(x)：表示开根号x
sqrt(n,x)：表示开n次根号x
frac{x}{y}：表示以x为分子，y为分母的分数，即y分之x
lim就直接认定为n趋于无穷时候的情况吧。

(6)由于有公式:x^4-y^4=(x-y)(x^3+x^2*y+x*y^2+y^3)
所以，令x=sqrt(4,n^2+1),y=sqrt(n+1)。
代入，则原式化为frac{-2n*sqrt(n)}{x^3+x^2*y+x*y^2+y^3}
（这一步上面的-2n既是根据x^4-y^4算出来的，下面写起来比较复杂，就直接代入了）
然后你既然之前的题都会做，应该到这里也会了吧，和（5）是一样的道理。可以上下同时除以n*sqrt(n)。因为上下实际上关于n的次方数都是3/2，所以最后应该是剩一个常数的。最后得到-1/2.
方法肯定没错，得数不对的话跟我说一声，我得锻炼计算能力了……

(7)只要证明sqrt(n,1/n!)小于任意给定实数。就可以证明其极限为0.反证法。
即，假设存在k>0,使得对任意n，恒有sqrt(n,1/n!)>1/k，则1/n!>1/k^n。即对任意n，n！<k^n。明显当n足够大的时候会不成立。
所以矛盾。
所以对任意的k，有sqrt(n,1/n!)当n足够大的时候小于1/k。所以极限是0.

ps:写到这里突然发现也许最开始可以不用反证法，而直接找到使得sqrt(n,1/n!)小于1/k 的最小的N值，而这个序列是单调递减的很容易证明，所以就收敛到0了。

(8)
对式子做变换，由于1-1/n^2=(n^2-1)/n^2=(n-1)*(n+1)/n^2所以
原式=lim(frac{1*3}{2^2}*frac{2*4}{3^2}*frac{3*5}{4^2}*...*frac{(n+1)(n-1)}{n^2}）(大部分项都抵消掉了）
=lim(frac{n+1){2*n})
=1/2

这个你自己在纸上写一下写成分数形式就很容易看了。

(9)这道题明显答案是1啊……
就用夹逼定理好了sqrt(n,n)<sqrt(n,n*lgn)<sqrt(n,n^2)（当n足够大时成立）
而lim sqrt(n,n)=lim sqrt(n,n^2)=1这应该是已知的结论，任何一本写数学分析的书上面都应该有的。可以用伯努利不等式直接证明。

(10)
另Sn=原式，考虑2Sn-Sn。
你在纸上算一下就会发现，把2Sn和Sn中2的次方数相同的项合并之后，
原来Sn的第n项为(2n-1)/2^n,2Sn的(n+1)项为(2n+1)/2^n，相减得到1/2^(n-1)。
等比数列求和，得到
2Sn-Sn=Sn=1+frac{1-1/2^(n-1)}{1-1/2}。
所以limSn=3

Answer 3

然脸幼

Answer 4

睛寇猫

Answer 5

令
t
=
n^(1/n)
-
1
，由
n^(1/n)
>
1
，可得：t
>
0
；
则有：n
=
(1+t)^n
=
1+nt+n(n+1)t^2/2+...+t^n
>
n(n+1)t^2/2
，
可得：t^2
<
2/(n+1)
；
所以，0
<
t
<
√[2/(n+1)]
，
即有：0
<
n^(1/n)
-
1
<
√[2/(n+1)]
只要：
√[2/(n+1)]<ε或n>2/ε^2
所以：取n=[2&花订羔寡薏干割吮公经#47;ε^2],则当n>n时
n^(1/n)-1<ε
limn^(1/n)=1