Question

设函数f(X)的定义域为D ，如果存在正实数K，使对任意

x属于D，都有x+k属于D，且f(x+k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k阶增函数”。已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)==|x-a|-a，其中a为正常数。若f(x)为R上的“2阶增函数”，则实数a的取值范围是？

Answer 1

当x＜0时,-x＞0,∴f(-x)=|-x-a|-a=|x+a|-a
∴f(x)=-f(-x)=a-|x+a|
f(x)定义域为R，x∈R，则x+2∈R，成立
f(x+2)＞f(x)
当x≤-2时，a-|x+2+a|＞a-|x+a|
→(x+2+a)^2＜(x+a)^2
→x＜-a-1恒成立
∴-a-1＞-2
a＜1
当-2＜x≤0时，|x+2-a|-a＞a-|x+a|
→|x-(a-2)|+|x-(-a)|＞2a恒成立
即数轴上x到a-2，-a两点距离之和恒大于2a
∴要求a-2，-a两点距离|a-2-(-a)|＞2a
即|a-1|＞a→(a-1)^2＞a^2→a＜1/2
当x＞0时，|x+2-a|-a＞|x-a|-a
→(x+2-a)^2＞(x-a)^2
→x＞a-1恒成立
∴a-1＜0
a＜1
综上所述，若f(x)为R上的“2阶增函数”，则实数0＜a＜1/2

追问

为什么a要大于0呢

追答

其中a为正常数

Answer 2

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)==|x-a|-a，
则当x<0时，f(x)==-|x+a|+a
当a<=0时，f(x)在R上单调递增，只要k>0，f(x+k)>f(x)恒成立
当a>0时，f(x)在x<=-a时单调递增，在-a<=x<=a时单调递减，在x>=a时单调递增。
当在x>=a时f(x)的最小值是当x=a时，f(a)=-a,而当x<=-a时，f(-3a)=-a
所以，由4a<2得，0<a<1/2
综上所述，若f(x)为R上的“2阶增函数”，则实数a的取值范围是a<1/2

Answer 3

因f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)
令x<0，则-x>0，于是有f(-x)=|-x-a|-a=|x+a|-a=-f(x)
所以当x<0时，f(x)=-|x+a|+a

又f(x)为R上的“2阶增函数”，即有f(x+2)>f(x)
当x>0时，f(x+2)=|x+2-a|-a>f(x)=|x-a|-a
即有|x+2-a|>|x-a|，两边平方得x>a-1
所以a-1>=0，即a>=1
当x<0时，f(x+2)=-|x+2+a|-a>f(x)=-|x+a|-a
即有|x+2+a|<|x+a|，两边平方得x<-a-1
所以-a-1<=0，结合a>0有a>0

综上知a>=1

Answer 4

哎呀，给的分数太少了，呵呵，不大想做呢。。。。因为比较复杂