极坐标下二重积分的问题
设区域D:x^2+y^2<=1,0<=y<=x,则二重积分∫∫xydxdy=?能不能给一下详细的步骤谢谢...
设区域D:x^2+y^2<=1, 0<=y<=x,则二重积分 ∫∫xydxdy=?
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画出区域D的图形：单位圆与y=x，y=0所构成的位于第一象限的八分之一圆。
令x=rcost, y=rsint, 则dxdy=rdrdt
此时D={(r,t)| 0≤t≤π/4, 0≤r≤1}
于是∫∫xydxdy=∫∫ r³costsint drdt
=∫[0,π/4]costsintdt ∫[0,1]r³dt
=(1/2)(sint)²|[0,π/4]×(r^4/4)|[0,1].......(sint)²|[0,π/4]表示(sint)²在区间[0,π/4]上的增量，
=(1/2)×(1/2)×(1/4)
=1/16
令x=rcost, y=rsint, 则dxdy=rdrdt
此时D={(r,t)| 0≤t≤π/4, 0≤r≤1}
于是∫∫xydxdy=∫∫ r³costsint drdt
=∫[0,π/4]costsintdt ∫[0,1]r³dt
=(1/2)(sint)²|[0,π/4]×(r^4/4)|[0,1].......(sint)²|[0,π/4]表示(sint)²在区间[0,π/4]上的增量，
=(1/2)×(1/2)×(1/4)
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-08-25 广告
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