Question

极坐标求解二重积分

麻烦把步骤里积分上下限写出来

Answer 1

很明显，积分区域为y=x^2与y=1所围成的区域

另x=rcosθ，y=rsinθ，其中0≤θ≤π

0≤θ≤π/4，或3π/4≤θ≤π过原点，倾角为θ的直线方程为y=xtanθ，与y=x^2联立，得到交点的坐标为[tanθ，(tanθ)^2]，则边界曲线上的点到原点的距离为|tanθ|·√[1+(tanθ)^2]=|tanθ·secθ|=sinθ/(cosθ)^2

所以此时转换为极坐标的积分为

π/4<θ<3π/4时，边界曲线上的点，纵坐标恒为1，则到原点的距离为1/sinθ

所以此时转换为极坐标的积分为

Answer 2

先确定积分区域，为y=x^2，y取值范围为0~1.对积分区域进行极坐标表示。由原点引一条射线可知积分区域边界有两个。分为两个区域。即0~pi/4和pi/4~pi/2。（由于对称性考虑半个区域）。ρ的上下限根据θ的取值决定。pi/4~pi/2时取0~1/sinθ。当0~pi/4时边界为y=x^2可用以下方法球上下限。原函数为y=x^2，y=ρsinθ，x=pcosθ，代入。则有ρsinθ=（pcosθ）^2。求得ρ=0；ρ=sinθ/cosθ^2即为其上下限。最后得：