Question

已知：如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作E

F⊥AB，F为垂足，下列结论：①∠ABE=∠ACE；②∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC；④BE+BD=2BF，其中正确的是（　　）

Answer 1

解：∵BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE，又BD=BC，BA=BE，∴∠BCD=（180°-∠CBE ）/2
，∠BEA=(180°-∠ABE)/2
，即∠BCD=∠BEA，又∠BDC=∠ADE，∴△ADE∽△BCD，∴AD/BD=DE/CD
∠DAE=∠CBE，∴∠ABE=∠DAE，又∠ADB=∠EDC，∴△ADB∽△EDC，∴∠ACE=∠ABE，故选项①正确；
∴A、B、C、E四点共圆，∴∠BCE+∠BAE=180°，又∠BCD=∠BAE，∴∠BCE+∠BCD=180°，故选项②正确；∴∠DAE=∠ACE，∴AE=EC，故选项③正确；过E作BC延长线的垂线，垂足为M
∵∠BCE+∠BAE=180°，∠BCE+∠ECM=180°，∴∠BAE=∠ECM，又BE为∠ABC平分线，EF⊥AB，EM⊥BM，∴EF=EM，在△AEF和△CEM中，

∠BAE=∠ECM ,∠AFE=∠CME=90° ,EF=EM
∴△AEF≌△CEM（AAS），∴AF=CM，又AB=EB，BC=BD，则BE+BD=AB+BC=BF+AF+BC=BF+BC+CM=BF+BF=2BF，故选项④正确，则其中正确的是①②③④．