Question

求微分方程y'''=e^(-x)满足初始条件y|(x=1)=y'|(x=1)=y''|(x=1)=0的特解

Answer 1

求微分方程y'''=e^(-x)满足初始条件y|(x=1)=y'|(x=1)=y''|(x=1)=0的特解
解：y"=∫e^(-x)dx=-∫e^(-x)d(-x)=-e^(-x)+C₁，用初始条件代入得 -e⁻¹+C₁=0，故C₁=1/e;
即有y"=-e^(-x)+1/e；
y'=∫[-e^(-x)+1/e]dx=∫e^(-x)d(-x)+(1/e)∫dx=e^(-x)+(1/e)x+C₂；用初始条件代入得 e⁻¹+1/e+C₂=0
故C₂=-2/e，于是y'=e^(-x)+(1/e)x-2/e；
∴y=∫[e^(-x)+(1/e)x-2/e]dx=∫e^(-x)dx+(1/e)∫xdx-(2/e)∫dx=-e^(-x)+x²/(2e)-2x/e+C₃；
用初始条件代入得 -1/e+1/(2e)-2/e+C₃=0，故C₃=5/(2e)；
∴原方程的特解为 y=-e^(-x)+x²/(2e)-2x/e+5/(2e)

Answer 2

积分得：y"=-e^(-x)+c1,代入y"(1)=0,得：c1=e^(-1)，
即y"=-e^(-x)+1/e
再积分：y'=e^(-x)+x/e+c2, 代入y'(1)=0, 得：c2=-2/e
即y'=e^(-x)+x/e-2/e
再积分：y=-e^(-x)+x^2/(2e)-2x/e+c3,代入y(1)=0, 得：c3=5/(2e)
故y=-e^(-x)+x^2/(2e)-2x/e+5/(2e)

Answer 3

积分一次
y''=-e^(-x)+A, 代入x=1,y''=0,得到A=e^(-1)
再积分
y'=e^(-x)+Ax+B, 代入x=1,y'=0,得到B=-2e^(-1)
再积分
y=-e^(-x)+(A/2)x^2+Bx+C, 代入x=1,y=0,得到C=(5/2)e^(-1)

所以y=-e^(-x)+(e^(-1)/2)x^2-2e^(-1)x+(5/2)e^(-1)

Answer 4

解为y= - e^(-x)+1/2/e*x^2-2/e*x+5/2/e