Question

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f(x)满足:①任意x,y属于（-∞，0）∪（0，+∞）,(接下），

f(x*y)=f(x)+f(y);②当x>1时，f(x)>0,且f(2)=1。
⑴试判断函数f(x)的奇偶性；
⑵判断函数f(x)在（0，+∞）上的单调性；
⑶求函数f(x)在区间[-4，0）∪（0，4]上的最大值；
⑷求不等式f(3x-2）+f(x)≧4的解集。

Answer 1

解：（1）∵取x=y=1有f(1*1)=f(1)+f(1)，
∴f(1)=0
取x=y=-1，则f(1) =f(-1)+f-(1)=0
∴f(-1)=0
∴取y=1/x ，则f(x)+f(1/x）= f(1)=0
取y=-1/x ，则f(-x)+f(1/x)= f(-1)=0
∴f(x)=f(-x）
∴f(x) 是偶函数。
⑵设0<x1<x2，则x2/x1>1
f（x2）=f(x1*x2/x1)=f（x2/x1）+f（x1）f（x2）-f（x1）=f（x2/x1）>0f（x1）<f（x2）所以为增函数
⑶∵f(x)在（0，+∞）上是单调增函数
∴f(x)在区间（0，4]上的最大值是f(4)；
∵f(x) 是偶函数。
∴f(x)在（-∞，0）上是单调减函数
∴f(x)在区间[-4，0）上的最大值是f(-4)=f(4)；
而f(4)= f(2)+f(2)=1+1=2
⑷f(3x-2）+f(x)= f（(3x-2）x)
4=2+2= f(4)+f(4)= f(16)= f(-16)
∵f(x)在（0，+∞）上是单调增函数、f(x)在（-∞，0）上是单调减函数
∴(3x-2）x≧16或(3x-2）x≦-16
解得x≦-1/2或x≧3/8

Answer 2

显然f(1) = 0，f(1) = f(-1 * -1) = 2f(-1)，所以f(-1) = 0

1f(-y) = f(-1) + f(y) = f(y)，因此是偶函数

2对任意的x>y 属于（0，+∞），假设x = k y ，k>1
则f(x) = f(ky) = f(k) + f(y) > f(y)，因此单调增

3因为单调增，偶函数，所以最大值在f(4) = f(2*2) = f(2) + f(2) = 1 + 1 =2

4由上一问以及偶函数性质，发现 f(-16) = f(16) = f(4*4) = f(4) + f(4) = 4
f(3x-2）+ f(x) = f(x(3x-2))
因此需要x(3x-2)>=16或者x(3x-2)<=-16
分别求解得x<=-2或者x>=8/3；无解
因此解集为x<=-2或者x>=8/3

Answer 3

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