Question

已知正四棱锥的体积为32/3,则正四棱锥的侧棱长的最小值为

Answer 1

设底面正方形的边长为a，正四棱锥的高为h，侧棱长为l，
∵正四棱锥的体积=a²h/3=32/3，∴a²=32/h，
∴l²=h²+(√2a/2)²=h²+a²/2=h²+16/h=h²+8/h+8/h≥3[h²(8/h)(8/h)]^(1/3)=12，
当且仅当h²=8/h，即h=2时，上式等号成立，
故当a=4，h=2时，l有最小值=2√3。

Answer 2

V=1/3h*a²=32/3
ha²=32,a²=32/h
L²=h²+(a²/2)=h²+32/h
设y=h²+32/h
令y'=2h-32/h²=0
得
h=(16)^(1/3)≈2.519842
L=[((16)^(2/3)+32/(16)^(1/3))]^(1/2) ≈4.364495