Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=（-1/2）x^2+bx+c

在平面直角坐标系中，已知抛物线y==-1/2x^2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限。
（1）如图，若该抛物线过A、B两点，求抛物线的函数表达式。
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交与另一点Q。
ⅰ）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
ⅱ）取BC的中点N，连接NP、BQ。试探究PQ/(NP+BQ）是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。（吴老师，我的图不好，烦请你再画一下）

Answer 1

(1)
根据题意B(4,-1)
将A(0,-1),B(4,-1)代入
抛物线y==-1/2x^2+bx+c
得c=-1
-1/2*16+4b+c=-1
∴b=2
∴抛物线的函数表达式为
y=-1/2x^2+2x-1 (1)
(2)
y=-1/2(x-2)^2+1,顶点(2,1)
A(0,-1),C(4,3)
设AC的解析式为y=kx+m
那么{m=-1,
{3=4k-1
m=-1,k=1
AC解析式为y=x-1
设P(t,t-1)
那么动抛物线解析式为
y=-1/2(x-t)^2+t-1
由{y=-1/2(x-t)^2+t-1
{y=x-1
==> x-1=-1/2x^2+tx-1/2t^2+t-1
==> x^2+2(t-1)x+t^2-2t=0
解得x=t,x=t-2
∴Q(t-2,t-3)
M在（1）上
若M为直角顶点，那么M(t,t-3)代入（1）
t-3=-1/2t^2+2t-1
t^2-2t-4=0
t=1±√5,
∴M1(1-√5,-2-√5),M2(1+√5,√5-2)

P为直角顶点，PQ与x=t成45º
∴Q，M关于x=t对称，
M(t+2,t-3)代入(1)
t-3=-1/2(t+2)^2+2(t+2)-1
∴t^2+2t-8=0
解得t=-4,或t=2
∴M3(-2,-6),M4(4,-1)

若Q为直角顶点，
那么M(t,t-5),代入(1)
t-5=-1/2t^2+2t-1
-4=-1/2t^2+t
t^2-2t-8=0
解得t=4,t=-2
M5(4,-1),M6(-2,-7)

综上,M4,M5重合，符合条件的点共5个。
ii)
PQ=2为定值，若PQ/(NP+BQ）取得最大值，
需NP+BQ能取得最小值
有些难度的，在探讨

Answer 2

太复杂了,简单一些上来

Answer 3

2132321213