Question

如图,点P是等腰直角三角形ABC底边上一点,过点P作BA,AC的垂线,垂足分别为E,F,设D为BC中点,

如图,点P是等腰直角三角形ABC底边上一点,过点P作BA,AC的垂线,垂足分别为E,F,设D为BC中点,则有DE⊥DF吗？若P为BC上任意一点，上述结论还成立吗？（提示：连接AD）

Answer 1

结论：DE⊥DF
证明：连接AD，则AD⊥BC
注意到AFPE为矩形，⊿CFP为等腰直角三角形
证明⊿ADE≌⊿DFC（SAS），得到∠ADE=∠PDF
因∠ADC=∠ADE+∠EDP=∠PDF+∠EDP=∠EDF=∠RT，得证

P为BC上任意一点包括B、C，上述结论仍然成立

追问

谢谢前辈，那么P为BC上任意一点包括B、C，上述结论仍然成立该如何证明呢？

追答

将P点的位置分成三类，分类证明它们，而证明方法一模一样：
（1）P在AB的延长线上
（2）P在AB的线段内
（3）P在AB的端点