Question

如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD//BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点。若OC=8㎝，OD=6㎝，求CD的长

Answer 1

过O作OE//BC交CD于点E,
∵AD//BC,O为AB的中点
∴E为CD的中点
∵直角梯形ABCD，∠B=90°，AD//BC
∴OE=(AD+BC)/2
∵AD+BC=CD
∴OE=CE=DE
∴∠ODE=∠DOE,∠OCE=∠COE
∵∠ODE+∠DOE+∠OCE+∠COE=180°
∴∠DOC=∠DOE+∠COE=90°
∴CD²=OD²+OC²
∵OC=8㎝，OD=6㎝
∴CD=10㎝

Answer 2

过AB的中点O作OE⊥CD于E，
∵S梯形ABCD=
1
2
（AD+BC）•AB=（AD+BC）•OA=2（
1
2
AD•OA+
1
2
BC•OB）=2（S△OAD+S△OBC），
且S梯形ABCD=S△OBC+S△OAD+S△OCD，
∴S△OBC+S△OAD=S△OCD，且OA=OB，
∴
1
2
AD•OA+
1
2
BC•OB=
1
2
AD•OA+
1
2
BC•OA=
1
2
（AD+BC）•OA=
1
2
CD•OE，
又AD+BC=CD，
∴OA=OE，
∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线，即CD与⊙O相切；
（2）在CD上取中点F，连接OF，
∵OF为梯形ABCD的中位线，且AD+BC=CD，
∴OF=
1
2
（AD+BC）=
1
2
CD，
∴O点在以CD为直径的⊙F上，
∴∠COD=90°，
在Rt△COD中，OD=6cm，OC=8cm，
∴根据勾股定理得：CD=
OD2+OC2
=
62+82 =10cm．