Question

数学问题：已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)。若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围

Answer 1

设p（x）=g(x)-f(x)，p（0）=0，只要p（x）是增函数，则g(x)-f(x)≥0就恒成立
求导得：a-cosx≥0恒成立，a≥1即可

Answer 2

解： 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），
所以h'（x）=cosx-a．
若a≥1，h'（x）=cosx-a≤0，
所以h（x）=sinx-ax在区间（-∞，0]上单调递减，即h（x）≤h（0）=0，
所以sinx≤ax（x≥0）成立． （3分）
若a＜1，存在x0∈(0，π/2)，使得cosx0=a，
所以x∈（0，x0），h'（x）=cosx-a＞0，
所以h（x）=sinx-ax在区间（0，x0）上单调递增，
所以存在x使得h（x）＞h（0）=0，即此时f（x）≤g（x）不恒成立，
所以a＜1不符合题意舍去．
综上，a≥1．

Answer 3

因g(x)=ax(x≥0)，f(x)=sinx(x≥0)，且f(x)≤g(x)恒成立
则有ax≥sinx (x≥0)
因g(x)=ax(x≥0)为线性函数，故若g(x)=ax(x≥0)，f(x)=sinx(x≥0)，f(x)≤g(x)恒成立，
则g(x)=ax(x≥0)的斜率应大于f(x)=sinx(x≥0)的最大斜率，
因f(x)=sinx(x≥0)为周期函数，则两边取导后有y`=cosx，得y`最大值为1。
故，a≥1。

Answer 4

记F(x)=g(x)-f(x)=ax-sinx
F‘(x）=a-cosx
F(0)=0，F(X)需单调递增
所以F'(X)大于等于零满足题意。
a大于等于cosx,又cosx小于等于1
所以a大于等于1

Answer 5

答案是1 ≤a 用极限来做 lim sinx\x(条件是X 趋近与0）=1 这其实是 大学高数的重要极限1