Question

非齐次线性方程组的特解通解问题

设B1、B2为线性方程组 AX=B的两个不同解，A1.A2是对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系，k1、k2为任意常数，则线性方程组AX=B的通解为。。
答案解释里说道“特解为（B1+B2）/2，导出组AX=0的基础解系含两个解向量A1、A1+A2。这个是为什么呢？解释里面全都不知什么意思的

Answer 1

因为齐次方程的基础解系有两个非线性的向量，因此其秩为2
因为b1和b2都是非齐次方程组的解，因此他们的平均也算是他的一个特解，再加上两个非线性的通解：a1和a1+a2，因此这个方程的解就是：k1*a1+k2*(a1+a2)+(b1+b2)/2

追问

非齐次方程组的解是b1、b2、b3呢？通解为什么是a1和a1+a2呢？

追答

通解只要保证线性不相关就可以，没有必要一定是a1和a1+a2，非齐次方程组的解本来就可以有无穷多个，关键是要找出符合这个非齐次方程的特解

Answer 2

一般情况下，就是这样的。但是某些题目会故意误导你，A1,A2,A3是方程的基础借系，让你误以为A1，A2，A3是线性无关，其实可能A1=K2*A2+K3*A3，是线性相关的，那么真正解系只有两个，这可能就是本题目的来源吧。一般情况是不区分的。另外你要理解方程的解是无穷多的，有多种表达方式的。
其次，AB1=B，AB2=B，那么A（B1+B2）=2B，所以（B1+B2）/2是一个特解。
建议，你把这个题目在稍微细化下，如选择题吧，其中，把个相关参数B1.B2及A1.A2给我们展示下。

Answer 3

Y=（B1+B2）/2 则AY=B
AX=B 则A(X-Y)=0
说明X-Y=k1a1+k2a2
X=(B1+B2)/2+k1a1+k2a2

追问

答案不对