Question

初中数学：二次函数（重点重点在第三问！！！！！！）

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和C（0，4）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）直线y=x+1与抛物线相交于A、D两点，点P是抛物线上一个动点，点P的横坐标是m，且-1＜m＜3，设△ADP的面积为S，求S的最大值及对应的m值；
（3）点M是直线AD上一动点，直接写出使△ACM为等腰三角形的点M的坐标．

Answer 1

（1）解得y=-x²+3x+4

（2）需要再追问吧亲，不想输了

（3）因为M在AD上，可设M的坐标为（m，m+1）

由勾股定理，AC=√17，AM=√【（m+1）²+（m+1）²】=（m+1）√2

当M在C上方时，CM=√【m²+（m+1-4）²】=√（2m²-6m+9）

当M在C下方时，CM=√【m²+（4-m-1）²】=√（2m²-6m+9）

分情况讨论

• 当AC=AM时，（m+1）√2=√17  解得m=√34/2-1，所以此时M（√34/2-1，√34/2）

• 当AC=CM时，√（2m²-6m+9）=√17  解得m=4或-1

当m=-1时，M与A重合，舍，所以此时m=4，M（4,5）

• 当AM=CM时，（m+1）√2=√（2m²-6m+9）   解得m=0.7，所以此时M（0.7,1.7）

  综上所述，使△ACM为等腰三角形的点M的坐标有三个，即M（√34/2-1，√34/2）或（4,5）或（0.7,1.7）

  手输好辛苦，望采纳

追问

但是有四个答案。还有一个点：-√34/2-1。
你的解法很新颖，但是为什么会漏掉一个解呢？我的想法是可能发生在化简AM=√【（m+1）²+（m+1）²】上，（m+1）²中的平方把m+1变为了正数，但是它可以是负数，然后再一化简，就把这个负数的意义搞掉了。我想应该是这样。你认为呢？

追答

哦，是漏了一个，但不是因为化简AM=√【（m+1）²+（m+1）²】出错，虽然的确√【（m+1）²+（m+1）²】=±（m+1）√2，但在后面解根式方程时都需要方程两边同时平方，平方后又都成了正数，漏了一个点是因为我在解（m+1）√2=√17 的时候漏了一个解，嘻嘻~
得楼主赏识，倍感荣幸，望采纳

追问

我还有一个疑问，我去了很多个地方提问，大家的答案的差异全部都出在（0.7,1.7）这个点上，很多人算成（3\2，5\2），而且他们的共同之处就是都有Y=1\4X+17\8这个解析式。这到底是怎么回事？例子的话你可以看看热心网友和翼gremlin的回答（就在我这个提问里）。

追答

我也不太清楚他们怎么错的，这儿有一个定理：平面直角坐标系内两条互相垂直的直线，它们解析式中的k值相乘得-1，应该是用这个算的解析式吧

Answer 2

做A关于y轴对称，得出G点..
连接GC与AD焦点M即可..
这个时候你应该能判断M的坐标

Answer 3

或许他的直接写出的意思是过程不得分，只要答案。
如果有对称、垂直之类的关系才能直接写出来。

追问

我知道呀，但是考试的时候我也不能凭空憋出几个答案呢。
我想要思考过程。外加一定的计算过程。

追答

他的意思是只要写上答案就给分，过程你要自己算。是不是卷面比较小？或者分值不够分了

Answer 4

1.将A C点代入得：y=-X"2+3X+4
2. 当X=3时，Y=4 两式连列，得出D（3，4）
S△PDA=1\2*4*(-X"2+3X+4-X-1)=-2X"2+4X+6=-2(X-1)"2+8
S最大为8，m=1
3. (1)AC=AM,
由勾股定理得：AC=√17
设M（n,n+1）
(n+1)"2+(n+1)"2=17
得n1=(√34-2)\2 n2=(-√34-2)\2
M1((√34-2)\2，√34\2) M2((-√34-2)\2,-√34\2)
(2)AC=CM,
设M（n,n+1）
CM'2=n"2+(n-3)"2=17
得n1=-1,n2=4
M3(4,5)
(3)CM=AM

做AC的中垂线，与AD交于M
lAC：Y=-4X+4
设AC中点为G 得G(-1\2,2)
设 lGM；Y=1\4X+b
过(-1\2,2)
得Y=1\4X+17\8
两式连列，得M4（3\2，5\2）

追问

设 lGM；Y=1\4X+b
是什么意思？为什么GM的解析式是Y=1\4X+b？怎么得出的？请解释。
还有“IAC”中的“I”，是什么意思呢？是直线的意思吗？我是初中生，考试的时候能不能这么写？

Answer 5

最后一问有三种情况，你看看我有没有算错

追问

最后一句话“即AC......垂直平分线......”首先有一些字 我看不清，而且那个四分之一x的解析式是怎么求出的？
还有，-√34-2∕2为什么要舍去呢？AD在第三象限也可以的吧？

追答

1.AC的垂直平分线与AD的交点才能保证三角形ACM为等腰三角形，这条的垂直线是这样求的，有两个条件一个是与AC垂直还有一个就是过AC的重点，这里的步骤我省略了，直接给出了答案。
2.这种情况原谅我没有想到，刚才看你回复其他人突然意识到了，算是一种疏忽吧。
3.最后不好意思，我写这个题目的时候纸张的空间不够所以后面的很多步骤不够详细，省略一下，见谅。

Answer 6

与抛物线相交于A、D两点，点P是抛物线上一个动点，点P