Question

高中数学题目

Answer 1

（1）Sn+nan=1，a1+a1=1，a1=1/2，a2+a1+2a2=1，a2=1/6，a3+a2+a1+3a3=1，a3=1/12，猜测an=1/n(n+1)；
（2）设n=k时成立，ak=1/k(k+1)，Sk+kak=1，Sk=k/(k+1)，当n=k+1时，S(k+1)+(k+1)a(k+1)=1，Sk+a(k+1)+(k+1)a(k+1)=1，k/(k+1)+a(k+1)+(k+1)a(k+1)=1，a(k+1)=1/(k+1)(k+2)，原式成立。综上an=1/n(n+1)成立；
（3）Sn=n/(n+1)，S(n+1)-Sn=a(n+1)=1/(n+1)(n+2)，(m-Sn)/[m-S(n+1)]=[m-S(n+1)+1/(n+1)(n+2)]/[m-S(n+1)]=1+1/{[(n+1)(n+2)][m-S(n+1)]}，Sn为增函数值域为[1/2,1)，m、n最小正整数为1，S(n+1)值域为[1/3,1)，{[(n+1)(n+2)][m-S(n+1)]}最小值2，1<(m-Sn)/[m-S(n+1)]≤3/2，(m-Sn)/[m-S(n+1)]>2不成立。