Question

判断多元函数求极值 若出现AC=B^2的情况，之后应怎样继续判断？

是在做660，2009版的第488题出现的情况。谢谢大家的解答

Answer 1

z=x^4+y^4-(x+y)^2,
从而在直线上x+y=0上z=2x^4>0当(x,y)不等于(0,0)时成立,
在直线x-y=0上z=-2x^2(2-x^2)<0当(x,y)不等于(0,0)且|x|<1时成立.
又z(0,0)=0,综合可见函数在(0,0)点不取极值.

z=x^4+y^4-(x+y)^2是一个曲面。
x+y=0和x-y=0是两个垂直于xy平面的平面。
那么
{z=2x^4，x+y=0。
{z=-2x^2(2-x^2)，x-y=0。
就是这两个平面与曲面的交线。
驻点(0,0)若是极值点的话，那么它的邻域内的所有点或者大于这个极值或者小于这个极值，而不会出现上面的一部分大于，一部分小于的情况。

有极值的曲面就像一个小山包，我们平时采用的求偏导，就像在x，y方向上确定山势的变化起伏，山顶的变化幅度都为零。
而最后这个方法，则是从x+y=0，x-y=0这两个方向上去判断了。
由此也可以引申到其他方向的直线上。

温故而知新，古人诚不我欺。