Question

已知f(x)=(a的x次方-a的负x次方)/(a的x次方+a的负x次方)(a大于1)

1.判断函数f（x）的奇偶性
2.证明f（x）在定义域内是增函数

Answer 1

1，f(x)=[a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)]，
那么f(-x)=[a^(-x)-a^x]/[a^(-x)+a^x]=-[a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)]=-f(x)
而定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数
2，f(x)=[a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)]
=1-2a^(-x)/[a^x+a^(-x)]
=1-2/[a^(2x)+1]
设x1<x2，f(x1)-f(x2)=-2/[a^(2x1)+1]+2/[a^(2x2)+1]
=2[a^(2x1)-a^(2x2)]/[a^(2x1)+1][a^(2x2)+1]
因为x1<x2，a>1，所以2x1<2x2，所以0<a^(2x1)<a^(2x2)
所以a^(2x1)-a^(2x2)<0，[a^(2x1)+1][a^(2x2)+1]>0
所以2[a^(2x1)-a^(2x2)]/[a^(2x1)+1][a^(2x2)+1]<0
即f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)
而x1<x2，所以f(x)在R上是增函数

Answer 2

(1),f(x)=(a的x次方-a的负x次方)/(a的x次方+a的负x次方)(a大于1)
=(a^2x-1)/(a^2x+1)
x∈R
f(-x)=[a^(-2x)-1]/[a^(-2x)+1]
=(1-a^2x)/(1+a^2x)
=-(a^2x-1)/(a^2x+1)=-f(x)
函数f（x）是奇函数
(2)设x1<x2,则
f(x1)-f(x2)
=(a^2x1-1)/(a^2x1+1)-(a^2x2-1)/(a^2x2+1)
=-2/[(a^2x1+1)(a^2x2+1)]<0
即f(x1)<f(x2)
所以,f（x）在定义域内是增函数

Answer 3

(1),f(x)=(a的x次方-a的负x次方)/(a的x次方+a的负x次方)(a大于1)
=(a^2x-1)/(a^2x+1)
x∈R
f(-x)=[a^(-2x)-1]/[a^(-2x)+1]
=(1-a^2x)/(1+a^2x)
=-(a^2x-1)/(a^2x+1)=-f(x)
函数f（x）是奇函数

(2)设x1<x2,则
f(x1)-f(x2)
=(a^2x1-1)/(a^2x1+1)-(a^2x2-1)/(a^2x2+1)
=-2/[(a^2x1+1)(a^2x2+1)]<0
即f(x1)<f(x2)
所以,f（x）在定义域内是增函数

Answer 4

1.首先a大于1，分母恒大于0，x定义域为R，且f(-x)=[a^(-x)-a^x]/[a^(-x)+a^x]=-f(x)，奇函数
2.设m>n且均在x定义域，f(m)-f(n)=[a^(-m)-a^m]/[a^(-m)+a^m]-[a^(-n)-a^n]/[a^(-n)+a^n]
={[a^(2m)-1][a^(2n)+1]-[a^(2m)+1][a^(2n)-1]}/{[a^(2m)+1][a^(2n)+1]}
分子化简得：2*a^(2m)-2*a^(2n)，因为a>1,故a^x单调递增，故a^2m>a^2n，分子>0
同时易知分子>0，故在实数范围内f(a)-f(b)>0
故f(x)在定义域内是增函数

Answer 5

1，f(x)=[a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)]，
那么f(-x)=[a^(-x)-a^x]/[a^(-x)+a^x]=-[a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)]=-f(x)
而定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数
2，f(x)=[a^x-a^(-x)]/[a^x+a^(-x)]
=1-2a^(-x)/[a^x+a^(-x)]
=1-2/[a^(2x)+1]
设x1<x2，f(x1)-f(x2)=-2/[a^(2x1)+1]+2/[a^(2x2)+1]
=2[a^(2x1)-a^(2x2)]/[a^(2x1)+1][a^(2x2)+1]
因为x1<x2，a>1，所以2x1<2x2，所以0<a^(2x1)<a^(2x2)
所以a^(2x1)-a^(2x2)<0，[a^(2x1)+1][a^(2x2)+1]>0
所以2[a^(2x1)-a^(2x2)]/[a^(2x1)+1][a^(2x2)+1]<0
即f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)
而x1<x2，所以f(x)在R上是增函数