已知a，b，c都是正数，求（a/b+c）+（b/c+a）+（c/a+b）的最小值（最好用排序不等式）
已知a，b，c都是正数，求（a/b+c）+（b/c+a）+（c/a+b）的最小值（最好用排序不等式）...
已知a，b，c都是正数，求（a/b+c）+（b/c+a）+（c/a+b）的最小值（最好用排序不等式）
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用Cauchy不等式比用排序不等式更简洁：
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)
＝a^2/(ab+ca)+b^2/(bc+ab)+c^2/(ca+bc)
≥(a+b+c)^2/[2(ab+bc+ca)].
∵a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
→(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ca),
∴a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2.
故a＝b＝c时，
所求最小值为：3/2。
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)
＝a^2/(ab+ca)+b^2/(bc+ab)+c^2/(ca+bc)
≥(a+b+c)^2/[2(ab+bc+ca)].
∵a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
→(a+b+c)^2≥3(ab+bc+ca),
∴a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2.
故a＝b＝c时，
所求最小值为：3/2。
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