Question

怎么证明两个矩阵相似呢？

考研真题中为什么这么解答，有点不懂，难道证明两个矩阵相似就是特征值相等然后都可以对角化就可以了吗？

Answer 1

都可以对角化就说明都与对角阵相似，且特征值相同，说明和同一对角阵相似，由相似的传递性可知，A B相似。

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

扩展资料：

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1） 求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。

参考资料来源：百度百科——相似矩阵

Answer 2

都可以对角化就说明都与对角阵相似，且特征值相同，说明和同一对角阵相似，由相似的传递性可知，A B相似

Answer 3

线性代数范围，矩阵相似并没给出充要条件，但在可对角化条件下，相似的充要条件是特征值相同

追问

就是这两个条件了咯那么说

Answer 4

首先要能相似对角化

追问

谢谢，我再去看看知识点吧

Answer 5

你先翻翻矩阵相似的定义，然后再去看如何证明相似。

追问

除了相似矩阵的定义还有什么方法证明两个矩阵相似啊？

追答

定义是最基本的啊，你先理解了，目标就是向那里转化，大的证明路径没有太多，具体的题里技巧稍稍不同而已。

追问

因为我看到去年的数学3考研真题有道证明两个矩阵相似的题

追答

太模糊了，看得好累！

相似这块，你先接受下来，这是很中规中矩的证明，标准路径，别想着去玩其他证法。先接受下来，理解它，熟练了才会有点小技巧的。

追问

我发了两张啊，后面那张比较清晰啊

追答

还是先把这种方法搞定，基本都是这样的。别想太多。

追问

好的，谢谢

追答

数三整体比较简单些，最好把线代搞的很熟，拿分的地方，比微积分要简单了。