Question

解关于X的不等式：aX2-2X+a<0 ＜a为常数的一元二次不等式＞

Answer 1

解：分类讨论。
若a=0，则不等式即-2x<0，得x>0；
若a≠0，则为一元二次不等式。判别式△=(-2)^2-4a*a=4(1-a^2)。
解方程aX2-2X+a=0得x=[1±√(1-a^2)]/a。
若△≤0，也即a≥1或a≤-1，那么：
当a≥1时，aX2-2X+a≥0恒成立，故无解；
当a≤-1时，aX2-2X+a≤0恒成立，当且仅当a=-1时可取等号，故当a<-1时解集为x∈R；当a=-1时解集为x≠-1；
当-1<a<0时，解集为x>[1-√(1-a^2)]/a或x<=[1+√(1-a^2)]/a；
当0<a<1时，解集为[1-√(1-a^2)]/a<x<[1+√(1-a^2)]/a。
综上：
当a<-1时解集为x∈R；
当a=-1时解集为x≠-1；
当-1<a<0时，解集为x>[1-√(1-a^2)]/a或x<=[1+√(1-a^2)]/a；
当a=0，解集为x>0；
当0<a<1时，解集为[1-√(1-a^2)]/a<x<[1+√(1-a^2)]/a；
当a≥1时，解集为空集。
不明白请追问。

Answer 2

解：当a=0时，原不等式等价于-2x<0，则原不等式解集为：x>0。
当a>0时，设f(x)=ax^2-2x+a，判别式△=4-4a^2，
若△>=0，即0<a<=1，则f(x)=0的两根为x1=[1-√(1-a^2)]/a，x2=[1+√(1-a^2)]/a，
则原不等式解集为：x1<x<x2 (具体数字自己可以带入x1和x2的表达式。)
若△<0，即a>1，结合f(x)函数图象性质可得原不等式解集为：空集。
当a<0时，
若△>=0，即-1<=a<0，则f(x)=0的两根为x1=[1-√(1-a^2)]/a，x2=[1+√(1-a^2)]/a，
则原不等式解集为：x2<x<x1 (具体数字自己可以带入x1和x2的表达式。)
若△<0，即a<-1，结合f(x)函数图象性质可得原不等式解集为：R。

掌握参数分类讨论的方法并结合二次函数与不等式的关系。

Answer 3

由题可得：a<0, △<0.
根据上式列出不等式组：
a<0, 4-4a²<0
得解：a<-1