Question

已知函数f(x)是定义在(负无穷，0)并(0,正无穷)上的偶函数，当x>0时，f(x)=x2+x+4

已知函数f(x)是定义在(负无穷，0)并(0,正无穷)上的偶函数，当x>0时，f(x)=x2+x+4/x.(x2+x+4是分子，x是分母)（1）求f(x)的解析式，(2)讨论函数f(x)的单调性，并求f(x)的值域

Answer 1

（1）对于x<0, f(x)=f（-x）=(x^2-x+4)/(-x)=--(x^2-x+4)/x
(2)，由函数对称 只需求x＞0的单调性
设x1＞x2，
则f（x1）－f（x2）＝x1＋4／x1－x2＋4／x2
＝（x1－x2）＊（1－4／x1x2）
当x1＞x2＞＝2时　即［2，＋无穷）单调递增
当2＞x1＞x2，　　即（0，2）单调递减，
x＝2，为函数最小值
对称过去（－无穷，－2］单调递减
（－2，0）单调递增

Answer 2

（1）x=1,y=1,f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0
x=-1,y=-1,f(1)=f(-1)+f(-1)，则f(-1)=0
x=x,y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，所以为偶函数
(2)令0<x1<x2，则x2/x1>0
f(x2)-f(x1)=f(x2/x1*x1)-f(x1)=f(x2/x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2/x1)>0，递增
(3)最大值为f(4)=f(-4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2
(4)x>2/3时，f(3x-2)+f(x)=f(3x^2-2x)>=2f(4)=f(16)，即3x^2-2x>=16,解得x>=8/3
当0<x<2/3时，f(3x-2)+f(x)=f(-3x^2+2x)>=f(16)，3x^2+2x>=16,无解
当x<0时，f(3x-2)+f(x)=f(3x^2-2x)>=f(16),3x^2-2x>=16,解得x<=-2
综上，x>=8/3或x<=-2