Question

设0<x1<1,Xn+1=Xn(1-Xn),证明Xn极限的存在

Answer 1

先证xn有界：
猜想1>xn>0
当n=1时，0<x1<1
假设当n=k时，0<xk<1成立
则当n=k+1时，0<x(k+1)=xk(1-xk)<1
故，xn有界

再证xn单调
x(n+1)-xn
=xn(1-xn)-xn
=xn*(1-xn-1)
=-xn^2
因为0<xn<1，故有
x(n+1)-xn<0
即，xn单调递减

因为xn单调递减有下界，故xn收敛，不妨设收敛到x
即：lim xn=x
对x(n+1)=xn(1-xn)同时取极限
lim x(n+1)=lim xn(1-xn)
x=x-x^2
x=0
因此，
lim xn=0

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