Question

已知函数f(x)=x^2/(ax+b)（a,b为常数），且方程f(x)-x+12=0有两个实根X1=3,X2=4

（1）求函数f(x)的解析式
（2）设k＞1,解关于x的不等式f(x)＜[(k+1)x-k]/(2-x)
（3）利用定义讨论f（x）在（2，4）上的单调性

前两问已经解决，主要是第三问

Answer 1

(1)将x1=3,x2=4分别代入方程x²/(ax+b)-x+12=0
得 9/(3a+b)=-9 16/(4a+b)=-8
解得a=-1,b=2
所以f(x)=x²/(2-x) x≠2
(2)不等式即为x²/(2-x)<[(k+1)x-k]/(2-x),可化为
[x²-(k+1)x+k]/(2-x)<0.
即(x-2)(x-1)(x-k)>0.
当1<k<2,解集为x∈(1,k)∪(2,+∞).
当k=2时,不等式为(x-2)²(x-1)>0,解集为x∈(1,2)∪(2,+∞)；
当k>2时,解集为x∈(1,2)∪(k,+∞).

(3)设2<x1<x2<4
f(x1)-f(x2)=x1^2/(2-x1)-x2^2/(2-x2)=[x1^2(2-x2)-x2^2(2-x1)]/(2-x1)(2-x2)
=[2(x1^2-x2^2)-x1x2(x1-x2)]/(2-x1)(2-x2)
=[2(x1+x2)(x1-x2)-x1x2(x1-x2)]/(2-x1)(2-x2)
=(x1-x2)[2(x1+x2)-x1x2]/(2-x1)(2-x2)
由于2<x1<x2<4,故有2-x1<0,2-x2<0,x1-x2<0
4<x1+x2<8,x1x2<16
2(x1+x2)-x1x2<0
故f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
所以,函数在(2,4)上是单调减函数.

Answer 2

(3)设2<x1<x2<4
f(x1)-f(x2)=x1^2/(2-x1)-x2^2/(2-x2)=[x1^2(2-x2)-x2^2(2-x1)]/(2-x1)(2-x2)
=[2(x1^2-x2^2)-x1x2(x1-x2)]/(2-x1)(2-x2)
=[2(x1+x2)(x1-x2)-x1x2(x1-x2)]/(2-x1)(2-x2)
=(x1-x2)[2(x1+x2)-x1x2]/(2-x1)(2-x2)
由于2<x1<x2<4,故有2-x1<0,2-x2<0,x1-x2<0
4<x1+x2<8,x1x2<16
2(x1+x2)-x1x2<0
故f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
所以,函数在(2,4)上是单调减函数.

Answer 3

第一问把X=3和X=4带入就可求得了，其它的等我有时间再来做吧