Question

函数f﹙x﹚的定义域为A,若x1,x2∈A且f﹙x1﹚＝f﹙x2﹚时

总有x1=x2,则称f﹙x﹚为单函数，例如函数f﹙x﹚＝2x﹢1﹙x∈R﹚是单函数，有下列命题﹕①函数f﹙x﹚=x²﹙x∈R﹚是单函数②函数f﹙x﹚＝x／﹙x﹣1﹚﹙x≠1﹚是单函数③若f﹙x﹚为单函数，x1,x2∈A且x1≠x2,则f﹙x1﹚≠f﹙x2﹚④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数，以上说法正确的是。我要详细的解答过程，还有①为什么不正确，亲们

Answer 1

①函数f﹙x﹚=x²﹙x∈R﹚是单函数 错，f﹙x﹚是二次函数，不是单函数。

②函数f﹙x﹚＝x／﹙x﹣1﹚﹙x≠1﹚是单函数 对，f﹙x﹚＝x／﹙x﹣1﹚﹙x≠1﹚=（x-1+1)/﹙x﹣1﹚=1+1／﹙x﹣1﹚，是单函数

③若f﹙x﹚为单函数，x1,x2∈A且x1≠x2,则f﹙x1﹚≠f﹙x2﹚ 对

④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数 对

追问

说一下正确的原因和错误的原因 ②的正确原因看不懂，麻烦解释，③④不懂为什么对

追答

②函数f﹙x﹚＝x／﹙x﹣1﹚﹙x≠1﹚是单函数 对，f﹙x﹚＝x／﹙x﹣1﹚﹙x≠1﹚=（x-1+1)/﹙x﹣1﹚=1+1／﹙x﹣1﹚，与图形f(x)=1/x相似，是单函数

③f﹙x﹚为单函数，设x1f(x2)·

追问

④为什么对

Answer 2

第四小题，反证法：假设不是单函数，即：单调函数f﹙x﹚的定义域为A,若x1,x2∈A且f﹙x1﹚＝f﹙x2﹚时x1不等于x2,不妨设x1>x2,又f(x1)=f(x2),故函数不单调，矛盾，

追问

老师说第四个选项是正确的，这个是我们学校月考的最后一道填空题