Question

设0<x<1,则函数y=1/x +4/(1-x)的最小值为

Answer 1

解设y=1/x+4/(1-x)=a，
x，与1-x都是正数
则两边同时乘以x(1-x),得1-x+4x=ax(1-x)
移项得ax^2+(3-a)x+1=0,在 0<x<1上恒成立时，a的最小值问题
若设f(x)=ax^2+(3-a)x+1,对称轴为x=（a-3）/2a
当a>0时，若 （a-3）/2a<0,则 f(x)>f(0)=1,无解
若 0<=（a-3）/2a<=1,则要f(X)与x轴有交点，即判别式<=0,解得a>=9,或a<=1舍去，
若 （a-3）/2a>1,则f（x)>f(1)=4,无解
当a<0时，无论对称轴位置，f（x）的最小值不是f（0），就是f（1），也就是说f（x）=0不可能 成 立 （0<x<1）
综上所述，a>=9,最小值为9，此时，x=1/3。
楼下这个人的解法，其实是转化为能用柯西不等式求解，相信你还没有学过吧，采纳我的吧，
完全用一元二次方程的概念理解的

Answer 2

解：
y=1/x+4/(1-x)
=(1-x+4x)/x(1-x)
=(3x+1)/x(1-x)
令t=3x+1
x=(t-1)/3
f(t)=t/[(t-1)/3*(4-t)/3]
=9t/(t-1)(4-t)
=9t/(4t-4-t^2+t)
=9t/(-t^2+5t-4)
=9/(-t-4/t+5)
≥9/(-2√4+5)
=9/(-4+5)
=9
∴最小值为9

Answer 3

x=1/3时y最小，y=9