Question

设函数f(x)=（2分之1）-[（2的x次方）+1]分之1

（1）证明函数f(x)是奇函数
（2）证明函数f(x)在（负无穷，正无穷）内是增函数
（3）求函数f(x)在【1，2】上的值域

要过程和答案

Answer 1

首先先说一句题外话，建议你最好把题目打成这样，让别人容易看懂：f(x)=1/2-1/(2^x+1)
（1）原式通分化简得f(x)=(2^x-1)/2(2^x+1)，求f(-x)得f(-x)=(1-2^x)/2(2^x+1)。故f(x)=-f(-x)
（2）这个用函数单调性定义，取x1<x2，证明f(x1)<f(x2)即可，应该不难，计算时要注意通分
（3）根据第2问的结论，f(x)min=f(1)=1/6，f(x)max=f(2)=3/10
最后再说一句题外话，我的专长是生物，如果在生物方面有什么问题欢迎找我！

追问

怎样求f(-x)得f(-x)=(1-2^x)/2(2^x+1)？？

追答

f(-x)=1/2-1/(1/2^x+1)
=1/2-1/[(2^x+1)/2^x]
=1/2-2^x/(2^x+1)
=(2^x+1-2·2^x)/2(2^x+1)
=(1-2^x)/2(2^x+1)

Answer 2

(1) f(x)=1/2-1/(2^x+1)=(2^x-1)/[2(2^x+1)]
f(-x)=(2^-x-1)/[2(2^-x+1)]
=(1-2^x)/[2(2^x+1)]
=-f(x)
因此，f(x)是奇函数
(2) 令x2>x1
f(x2)-f(x1)=1/2-1/(2^x2+1)-[1/2-1/(2^x1+1)]
=1/(2^x1+1)-1/(2^x2+1)
=(2^x2-2^x1)/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
∵2^x2-2^x1>0,2^x1+1>0,2^x2+1>0
∴f(x2)-f(x1)>0
f(x)在(-∝，+∝)内是增函数
(3)∵f(x)在(-∝，+∝)内是增函数
∴f(x)在[1，2]的最小值为：f(1)=1/2-1/(2^1+1)=1/6
f(x)在[1，2]的最小值为：f(2)=1/2-1/(2^2+1)=3/10
f(x)∈[1/6,3/10]